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计算流体力学与计算传热学 第四章对流扩散问题数值解 4.1对流扩散问题中心差分格式 将控制容积法应用于对流－扩散问题： 整理， 对流项的离散化－几点说明 对流项的引入并没有改变离散化方程的基本形式 对于一维稳定流动，按连续性方程， ?u＝Constant 于是 对流项的离散化－几点说明 注意到： ?u可以大于零，也可以小于零 （?/?x）始终大于零 aW、aE和aP一般不能保持相同的符号 结论：上面的离散化方法不能保证系数同号原则永远成立。 4.2迎风差分格式 迎风格式的主要缺点是当流动不是沿着网格线时结果有误差.此时,迎风格式使输运量Φ的分布变得混淆,这样产生的误差有扩散特性,称为伪扩散(false diffusion) 理论上网格加密可解决伪扩散问题,实际中网格加密代价太大,不可行.如此,迎风差分格式不适合精确流动计算. 混合差分格式: 小Pe数(Pe2)用中心差分;大Pe数(Pe=2)用迎风格式.混合差分格式的主要缺点是只有泰勒级数截断误差的一级精度. 4.3对流扩散问题的高阶差分格式 二阶迎风QUICK格式 QUICK(The Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinetics )格式 用单元面两侧的两个节点和上游侧的再一个节点的二次插值表示这个单元面的输运量Φ 值. 可证明对均匀网格,在单元面两侧的节点i和i-1,上游节点i-2之间插值,得 对正负流动方向都有效的一般表达式: QUICK格式的不足之处是不能保证主系数(E和W)为正,而且aww,aEE为负,这就有稳定性问题, QUICK格式是有条件稳定的.改进的QUICK格式把带来稳定性问题的系数放进源项,这样主系数就是正的. QUICK格式精度比中心差分和混合格式高,保持迎风加权的特性,总的伪扩散性小,但计算较不稳定.但某些问题如Φ梯度较大时, QUICK格式会出现小的过低和过冲,极端情况会出现非物理行为,如出现负湍流量k,ε. 尽管如此,只要使用时小心判断, QUICK格式能给出非常精确的解. * * 参照下面的节点组：对方程在控制容积P上积分： ?x (?x)+e (?x)-w (?x)-e (?x)+w (?x)w (?x)e w e W P E 图 1 一维问题空间区域的离散化 用两个变量F、D代表单元面上对流质量通量和扩散传导率： 利用中心差分表达扩散项，（4-2a）式变为： 假定节点待求变量按线性分布，则有： 其中， 当差分格式满足相容性、收敛性和稳定性这些数学特性时，理论上只要计算单元的数目足够大就可以从数值方法得到与精确解一致的解。 工程上要求数值计算产生物理上真实的解，而只有当离散格式具有守恒性、有界性和输运性才行。中心差分格式满足守恒性，高Pe数下不满足有界性和输运性，得不到真实的解。 满足守恒性的要求是：在控制体上积分产生守恒型控制方程；在相邻的两个控制体中通过公共面的通量必须用相容的离散来表达。满足有界性要求离散后产生的系数矩阵对角占优及所有系数同符号。 定义对流和扩散相对强度的（Peclet) Pe数： Pe数的大小和影响的方向性之间的关系就输运性。 只有同时应用连续性方程，才能使相邻系数之和原则成立 中心差分格式的主要缺点是不能鉴别流动方向，迎风差分格式在确定单元面的值时，考虑流动方向，单元面Φ的对流项的值取为上游节点的值。 ?x (?x)+e (?x)-w (?x)-e (?x)+w (?x)w (?x)e w e W P E 图 1 一维问题空间区域的离散化 u 流动方向 如：uw0 , ue0 迎风格式置： 如：uw0 , ue0 迎风格式置： 迎风格式和中心差分的区别是 取值不同. 当