概率论6-2.ppt

* §6.2 未知参数的区间估计 引言 前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 . 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条. 若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了. 实际上，N的真值可能大于1000条， 也可能小于1000条. 也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值. 湖中鱼数的真值 [ ] 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 ，这里 是一个 很小的正数. 一. 区间估计的基本概念 实际中,我们往往希望通过样本给出一个范围, 使得这个范围能够以足够大的概率包含未知参数. 这就是区间估计问题. 1. 置信区间的定义 关于定义的说明 若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n) 按伯努利大数定理, 在这样多的区间中, 另外定义中的表达式 还可以描述为： 例如 2. 求置信区间的一般步骤(共3步) 单击图形播放/暂停　ESC键退出 单击图形播放/暂停　ESC键退出 ~N(0, 1) 选 的点估计为 求参数 的置信度为 的置信区间. 例1 设X1,…Xn是取自 的样本， 二、置信区间的求法 明确问题,是求什么参数的置信区间? 置信水平是多少？ 寻找未知参数的 一个良好估计. 解： 寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知. 有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率. 对给定的置信水平 查正态分布表得 对于给定的置信水平(大概率), 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平. 使 为什么 这样取？ 对给定的置信水平 查正态分布表得 使 从中解得 也可简记为 于是所求 的 置信区间为 从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下: 1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间? 置信水平 是多少? 2. 寻找参数 的一个良好的点估计T (X1,X2,…Xn) 称S(T, )为枢轴量. 3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数 S(T, ),且其分布为已知. 4. 对于给定的置信水平 ，根据S(T, )的分布，确定常数a, b，使得 P(a ≤S(T, )≤b)= 5. 对“a≤S(T, )≤b”作等价变形,得到如下 形式: 则 就是 的100( )％的置信区间. 可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数 和估计量T 的函数S(T, ), 且S(T, )的分布为已知, 不依赖于任何未知参数 (这样我们才能确定一个大概率区间). 而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要. 这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形. 若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计. 例2 已知某地区新生婴儿的体重X~ 随机抽查100个婴儿 … 得100个体重数据 X1,X2,…,X100 的区间估计 求 和 （置信水平为1- ）. 解：这是单总体均值和方差的估计 已知 先求均值 的区间估计. 因方差未知，取 使 即 对给定的置信度 ,确定分位数 均值 的置信水平为 的区间估计. 即为 从中解得 *