海伦公式的证明(精选多篇).doc

海伦公式的证明(精选多篇) 第一篇：海伦公式的证明 与海伦在他的著作”metrica”(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c，则余弦定理为cosc = (a+b-c)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√(1-cos c)=1/2*ab*√[1-(a+b-c)/4a*b]=1/4*√[4a*b-(a+b-c)]=1/4*√[(2ab+a+b-c)(2ab-a-b+c)]=1/4*√[(a+b)-c][c-(a-b)]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 第二篇：海伦公式的几种证明与推广 海伦公式的几种证明与推广 古镇高级中学付增德 高中数学必修第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔heron’s formula〕：假设有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积s可由以下公式求得： s? (p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p? 12 (a?b?c)，称为半周长。 图1 c 海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据morris kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：s= p(p?a)(p?b)(p?c) 2 2 2 === 141414 (a?b?c)(a?b?c)(a?c?b)(b?c?a)(a 2 = 14 [(a?b)?c][c14 4ab 2 2 ?(a?b)] 2 2 ?b 2 2 ?c 2 ?2ab)[?(a 2 2 ?b 4 2 ?c 4 2 ?2ab)] 4 = ?(a 2 ?b?c) 22 2ab 2 ?2ac 2 ?2bc 22 ?a?b?c 12 absinc和余弦定理 教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式s? 12 12 12 c 2 ?a 2 ?b 2 ?2abcosc的证明过程：s?absinc=ab1?cosnc= 2 ab1?( a 2 ?b 2 ?c 2 2ab ) 2 下略。我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式s?abc? 12 aha入手，利用勾股定理，布列方程组求高。 如图2， b 图2 c ?x2?y2?c2 222 ?2a?c?b22 在△abc中，ad为边bc上的高，根据勾股定理，有?x?z?b解方程，得y?， 2a ?y?z?a?z? a ?b ?c 2a ，x?c ?y ?c ?( a ?c ?b 2a ) ? 12a 4ac 22 ?(a ?c ?b)下略。在求 22 高的方法上，我们也可以用斯特瓦尔特定理，根据斯氏定理，△abc顶点a于对边bc上任一点d间的距离ad有下列等式确定：ab ad ?dc?ac ?bd?ad ?bc?bd?dc?bc，等式改写为 ?ab ? dcbc ?ac ? bdbc ?bc ? dcbc ? bdbc aa 22 而当点d是顶点a的正射影时,有 bddc ? abcosbaccosc ? ?c?b 22 ?b?c 22 ，利用比例的性质，变形得 bdbc ? a ?c 22 ?b 2a ， dcbc ? a ?b 22 ?c 2a ，代入即求出高ad。推证海伦公式也可以考虑应用三角函数 的恒等式，容易证明下列三角恒等式：若a+∠b+∠c =180°那么 abacbcta?ta+tan?tan?tan+tan=1， 222222 zz c 图3 如图3,在△abc中，内切圆o的半径是r,则tan a2 ? rx , tan b2 ? ry ,tan c2 ? rz ,代入恒等式 tan a2 ?tan b2 +tan a2 ?tan c2 +tan b2 ?tan c2