第五节函数的极值及最大值最小值.ppt

* 第五节 函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值 定义 如果函数f (x)在x0的某邻域 内有定义，如果对于去心邻域 内的任何一 x，有 f (x) f (x0)，(或f (x)f (x0)), 那么就称f (x0) 是函数 f (x)的一个极大值(或极小值). 一、函数的极值及其求法 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点. 定理1(必要条件) 设函数 f (x)在点x0 处可导，且在 x0 处取得极值，那么f? (x0) = 0. 驻点 导数为零的点(即方程 f ?(x0)=0的实根)叫做函数f(x)的驻点. 注意： 可导函数 f (x)的极值点必定是它的驻点；但驻点不一定是它的极值点. 设函数f(x)在 处连续， 且在 的某去心邻域 内可导. (1)若 时， ，而 时， ，则f(x)在 处取得 定理2(第一种充分条件) 极大值. (2)若 时， ，而 时， ,则f(x)在 处取得 极小值. (3)若 时， 的符号保持不变，则 在 处 . 没有极值 (4)求出这些极值点处的函数值，即得函数f (x)的全部极值. 求函数f(x)的极值和极值点的步骤： (1)求出导数 ； (2)求出f(x)全部驻点和 不存在的点； (3)考察 的符号在每个驻点和导数不存在的点的左、右邻域的情形，判定在该点是否有极值及是极大值或极小值； x －1 1 f(x) 极 大 值 非 极 值 极 小 值 f ?(x) 0 + 0 － 0 + + 定理3(第二种充分条件) 极大值 极小值 注意： x 0 1 _ _ + + 0 0 0 f(x) 非 极 值 非 极 值 极 小 值 x 0 1 + － + 不存在 0 f(x) 0极大值 函数 y=f (x)在闭区间[a,b]上连续，(a,b)内可导： (2)y=f (x)在[a,b]上的最大值或最小值一定在极大值点、极小值点或区间的端点处取得. 二、最大值最小值问题 (1)由函数在闭区间[a,b]的性质知：y=f(x)在[a,b]一定有最大值和最小值. (4)极大值、极小值是局部的概念；而最大值、最小值是全局的概念. (3)y=f (x)的最大值、最小值一定在f (x)=0或f ?(x)不存在的点及区间端点取得. 例7 铁路线上AB段的距离为100公里，工厂C距A处20 公里，AC垂直于AB.为了运输需要，要在AB线上选 定一点D向工厂修筑一条公路.已知铁路每公里货运 的运费与公路上每公里货运的运费之比为3:5,为了使 货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在 何处？ 解：材料最省即使表面积最小，设表面积为s 底半径为r,高为h 例8 要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省. 所以，当h=2r时，面积最小. 例9 把一根直径为d的圆木锯成截面积为矩形的梁，问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大？ 例10 一束光线由空气中A点经过水面折射后到达水中B.已知光在空气中和水中的传播速度分别是 和 光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播.试确定 光线传播的路径. 解：设A点到水面的垂直距离为AO=h1, B到水面的垂直距离为BQ= h2 ， x轴沿水面过点O、Q， OQ的长度为l.