第四章随机变量的数字特征题库.doc

第四章 随机变量的数字特征 由前面的讨论知道，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律，然而在一些实际问题中要确定一个随机变量的分布函数却是非常困难的，而且有一些实际问题，并不要求全面考察随机变量的统计规律，而只需知道它的某些特征，因而并不需要求出它的分布函数，例如考察日光灯管的质量，常常关心的是日光灯管的平均寿命，即其平均寿命是一个重要指标.这就是说，随机变量的平均值，常常是一个重要的数量特征。在考察日光灯管的质量时还不能单就平均寿命来决定其质量，还必须要考察日光灯管的寿命与平均寿命的偏离程度，只有平均寿命较长同时偏离程度又较小的日光灯管才是质量较好的。随机变量与其平均值偏离的程度也是一个重要的数量特征。这些与随机变量有关的数量，虽不能完整地描述它的统计规律，但已反映出随机变量在某些方面的重要特征，它们在理论和实践上都具有重要的意义。本章将介绍常用的随机变量的数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩。 4.1 随机变量的数学期望 4．1．1 离散型随机变量的数学期望 甲、乙两射手进行射击训练，已知在100次射击中命中环数与次数记录如下： 甲： 环数 8 9 10 次数 30 10 60 乙： 环数 8 9 10 次数 20 50 30 试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？ 解 从上面的成绩表很难立即看出结果，我们可以从其平均射中的环数来评定其技术优劣。 甲平均射中的环数为 （环）, 乙平均射中的环数为 （环）， 故从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。 本例中等是事件在100次试验中发生的频率（为命中环数），当射击次数相当大时，这个频率接近于事件一次试验中发生的概率，上述平均环数的计算可表示为，称之为随机变量的数学期望或均值.下面给出定义。 定义4.1 设离散型随机变量的分布律为 若级数绝对收敛，则称其和为随机变量的数学期望或平均值，简称期望或均值,记为，即 . (4-1) 随机变量的数学期望完全是由的分布律确定的，而不应受的可能取值的排列次序的影响，因此要求级数绝对收敛。若级数不绝对收敛，则称随机变量的数学期望不存在。 若把看成轴上质点的坐标，而看成相应质点的质量，质量总和=1，则(4-1)式就表示质点系的重心坐标。 设随机变量 的分布列为 求。 解 由(4-1)式有 若将此例视为甲、乙两人“赌博”，甲赢的概率为，输的概率为，但甲每赢一次可从乙处得3元，而每输一次，要给乙1元，则是指甲平均每次可赢元。 每个“赌徒”在参加赌博时，心中首先要盘算这个数字。这正是称为“期望“的原因。 按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆公交车到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 概率 其乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望。 解 设乘客的候车时间为(单位为分)，若该乘客8:20到车站，而8点到9点的一趟车已于8:10开走，第二趟车9:10开，则他候车的时间为50分钟，对应的概率为事件“第一趟车8:10开走，且第二趟9:10开”发生的概率，即 该乘客其余候车时间对应的概率可类似得到，于是候车时间的分布律为 10 30 50 70 90 从而该乘客候车时间的数学期望为 （分）. 例4 从一个装有。个白球和个红球的袋中取球，直到出现白球为止。若每次取出的球仍放回袋中，试求取出红球数的数学期望. 解 设取出的红球数为，则的分布律为 令 则 于是 1。2 连续型随机变量的数学期望 若为连续型随机变量，其密度函数为，则落入内的概率可近似地表为，它与离散型随机变量的类似，下面给出定义。 定义4.2 设连续型随机变量的密度函数为。若积分绝对收敛，称该积分值为随机变量的数学期望或平均值，简称期望或均值，记为，即 若积分不绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在。 设在x轴上连续分布着质量，其线密度为，则由 可知的物理意义是质量密度为的一维连续质点系的质量中心的坐标。 例5设随机变量服从柯西(Cauchy)分布,其密度函数为 试证的数学期望不存在。 证 因为 即不绝对收敛，所以不存在。 例6 有5个相互独立工作的电子装置，其寿命服从同一指数分布，分布函数为 若将这5个电子装置串联组成整机，求整机寿命N的数学期望； 若将这5个电子装置串联组成整机，求整机寿命M的数学期望。 若将这5个电子装置并联组成整机，求整机寿命M的数学期望。 解 由随机变量函数的分布可知 (1)的分布函数为 其密度函数为 故 的分布函数 其密度函数为 故 由 可知，同样5个电子装置，并联组成整机的平均寿命是串联组成整机的平均寿命的11.4倍。 随机变量函数的数学期望 在实际问题中常常需要求出随机变量的函数的数学期望，例如，要求。我们可以不必求出的密度函数，而直