三招齐下破解含参数函数导数应用题.doc

“三招齐下”破解含参数函数的导数应用题 浙江省象山县第二中学 吕增锋 315731 导数在高中数学中可以说是“叱咤风云”，具有深刻的内涵与丰富的外延，在应用中显示出独特的魅力和势不可挡的渗透力。导数是解决函数、方程、不等式、数列和曲线等问题的利器，是沟通初等数学与高等数学的桥梁。以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。对导数应用的考查的广度和深度也在不断加重拓宽、加深。尤其是运用导数确定含参数函数的参数取值范围的问题，这类问题不仅综合性强、难度高，而且解题思路妙、方法巧，学生不容易掌握。 例1 （2010全国Ⅱ理科）设函数 （Ⅰ）证明：当时，； （Ⅱ）设当时，，求a的取值范围。 参考答案： （Ⅰ）要证明当时，，只需证明。令，则。当时，，在是增函数；当时，，在是减函数。于是在处达到最小值，因而当时，，即。所以当时，。 （Ⅱ）由题设，此时。当时，若，则，不成立；当时，令，则，当且仅当时成立。因为。 （ⅰ）当时，由（Ⅰ）知，。则在是减函数，，即。 （ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，，当时，，所以，即。综上所述，的取值范围是。 以上是本题标准答案的解法，其中第（Ⅱ）小题的解法似乎有点让人匪夷所思。笔者粗略看了一下也没看懂，反复看了几遍后终于明白了其中的奥妙。它是利用了第（Ⅰ）小题提供的不等式关系对进行放缩找到参数的分界点，然后对和进行分类讨论，通过排除的可能性，最后得到。此解法构思很巧妙，技术含量高，堪称经典。但回过头来想想，这样的解法学生能想到吗？学生会不会想到利用放缩法对进行变形？会不会想到对和进行分类讨论？多数学生的回答恐怕是否定的。既然如此，再巧妙的方法对学生来说又有什么意义呢？在解题中，我们提倡采用“通性通法”，主张解法自然，淡化特殊技巧。因为只有通性通法、常规解法才是属于大众思维的范畴，只有属于大众的才能容易被学生掌握的。因此，我们不禁要问，这道题除了上述解法外有没有“大众”一点的解法；遇到类似的题目，学生该何去何从。 1 连续求导破解极值存在性问题 本题的基本思想方法是通过等价变形，把不等式问题转化为求函数的最值问题。这就需要对求导，得到。然后解方程，求出极值点。由于方程的解不容易求，所以标准答案选择了放缩法进行求解。事实对于这样的方程，我们可以利用代入特殊值，如0、1、-1等的方式把它的解“凑”出来。通过尝试我们发现恰好是的一个解。找到一个解后，问题并没有解决，因为除了外我们还要考虑有没有其它解。这又可以归为求函数的值域问题，又要用到导数。我们令，然后再求。 因为。 （ⅰ）当时，，在上单调递减，则 ， 即，所以在上单调递减，，即。 （ⅱ）当时，，则时，，，即，所以在上单调递增，，即。综上所述，的取值范围是。 上述解法显然比标准答案中的解法更自然，更大众化，更容易让学生接受。如果要谈解题技巧话，无非是对函数求了两次导数，即用到了的二阶导数。对于连续求导的思想学生应该能够理解并掌握，因为我们知道求导的重要作用就是通过求极值点确定函数的单调区间，最终求出函数的最值（值域）。只要明白这一点，那不管求导多少次都是同样道理。 2 分离参数破解分类讨论问题 上述的解法相对于标准答案来说确实更加自然了，但这两种解法都用到了分类讨论的思想。我们知道分类讨论向来是学生的“软肋”，对于参数的讨论更是“软肋”中的“软肋”。为了摆脱分类讨论所带来的麻烦，这可以试着尝试一下分离参数法。也就是利用题设条件建立变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解，再由已知变量的范围求出函数的值域，即为所求变量的范围。 因为当时，，即。 （ⅰ）当时, 显然等号成立。 （ⅱ）当时，；令，则。所以只需求出即可。，。因为无法直接求解方程，通常只能用特殊值代入“凑出”方程的解。不难发现是其中一个解，但这个解不在定义域范围内。除了这个解外还有没有其它解？凭借对考试命题特点的了解，我们可以大胆推测方程在定义域内应该无解。这就需要验证导函数或在定义域内恒成立就行了，这就需要运用连续求导的策略把看成一个新的函数再求导。 令，则。因为的解依旧求不出，所以再继续求导。令，则，因为还是解不出，所以还要求导。令，则，所以在上单调递增，则，即，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，所以，即。经过连续四次求导，终于验证了在上单调递增。上述解法比较繁琐、冗长，但思路单一，方法简单，容易想到。 3 罗必塔法则破解未定式极限问题 经过上述的分离参数法和连续求导的处理，问题就转化为求函数的最小值。因为在上单调递增，所以。结果我们发现，运用高中的数学知识根本无法处理，好不容易探索出来的一条路在靠近终点的时候被堵死了，真让人心不甘情不愿。 事实上，要解决这个问题，