年线性代数与几何下第次课-北京大学力学系.PPT

第六节 平面 第六节 平面 直角坐标系下的平面方程 第六节 平面 第7节 直线 第7节 直线 相对位置 * 北京大学工学院 线性代数与几何（下） * 第四章 向量代数、平面与直线 (第24次课) 平面 ? 由一个点P0和在平面上的两个不共线向量α, β确 定。对于空间中的任一点P： 命题：点 当且仅当 ，α, β 共面 当且仅当 取空间的仿射坐标系：{O; e1, e2, e3}，P0(x0, y0, z0)， α=x1e1+y1e2+z1e3 , β= x2e1+y2e2+z2e3, 则点P(x, y, z)的坐标满足 关系： 此为平面的参数方程 , α, β 共面导致它们的混合积为零，即 由此得到： 向量 称为平面的法向(注意仿射系的垂直问题， 以及法向量的坐标问题！). 命题：点 当且仅当 当且仅当 也可写作 点法式方程 的形式 进一步，在直角坐标系下 是单位向量，我们有 法方程： 定理：平面方程等价于三元一次方程 例题3.26 三点式方程 一个方程相当于一个“约束”，三维空间中加一个约束就是 平面，再加一个约束是直线。 例题3.27 截距式方程 例题3.28 命题：点 当且仅当 当且仅当 直线 l 由一个点P0和一个非零向量 ? 确定。 与 ? 共线 取空间的仿射坐标系：{O; e1, e2, e3}，P0(x0, y0, z0)， ?=Xe1+Ye2+Ze3 则点P(x, y, z)的坐标满足关系： 或 直线的普通方程或一般方程：直线是两个平面的交线 例题 3.29， 3.30（两个解法） 平面、直线之间的关系？ 平面-平面： 广义平行（重合，不相交），相交 平行：法线指向相同或相反的方向，即法向量共线 重合：重合是平行的特例，它要求 不相交：不相交也是平行的特例，它要求 直线-平面： 平行（直线在平面内，直线不在平面内），相交 平行：平面的法向正交于直线的走向 直线在平面内：也就是说P1在平面内， 和 直线不在平面内（平行）：也就是说P1不在平面内， 和 直线-直线： 共面（ 相交，平行，重合），异面 共面：l与l1上任意两点的联线与?和?1共面，所以 相交：要求?和?1共面不平行，即 且 平行：要求?和?1平行且P1不在l上； 且 ， 重合：要求?和?1平行且P1在l上； 且 ， 异面：l与l1上任意两点的联线与?和?1不共面，所以 例题 3.31， 3.32，3.33，3.34 平面束 * 第24次课作业 P123-124：27(1), 28(1), 29, 30(1), 31(1), 32(1),33(2), 36 *