线性方程组的消元法和矩阵的初等变换.PPT

第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换 第一节 线性方程组的消元法 线性方程组的基本概念 例如 2元线性方程组（含有2个未知数 ）： 例如 3元线性方程组（含有3个未知数 ）： 方程组（1）为齐次线性方程组； 方程组（2）为非齐次线性方程组； 方程组（1）称为方程组（2）所对应的齐次线性方程组 3元线性方程组： 已知 满足该方程组， 解集合的定义？ 几个概念： 线性方程的线性组合 两个方程组等价 同解变换 线性方程组的消元法 用消元法解线性方程组，实际上对线性方程组 实施以下三种变化： 交换两个方程的次序； 用一个非零常数乘某个方程； 把一个方程的倍数加到另一个方程上 以上三种变换称为线性方程组的初等变换 定理 线性方程组的初等变换是同解变换 利用初等变换解一般的线性方程组，目的是将方程组化为阶梯型方程组（这也是解方程组的第一步） 注： 若 该方程组无解 ，分两种情况： 此时，方程组有唯一解 例如 解线性方程组 所以，该方程组无解 例如 解线性方程组 易求得方程组的解为 例如 解线性方程组 定理 齐次线性方程组 若 ，该方程组必有非零解 第二节 矩阵的初等变换 矩阵 定义 举例 实矩阵：元素全为实数的矩阵 复矩阵：元素中有复数的矩阵 行矩阵：只有一行的矩阵（行向量） 列矩阵：只有一列的矩阵（列向量） n阶方阵：行数，列数均为n的矩阵 零矩阵：元素均为零的矩阵，记作O 同型矩阵：两个矩阵的行数相等，列数相等， 则称它们是同型矩阵 矩阵相等： 注：矩阵A，B相等的前提条件为：A，B为同型矩阵 转置矩阵： 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个 新矩阵，叫做矩阵A的转置矩阵，记为 即： 例如： n阶对角矩阵： 特点：除了主对角线上以外，其它元素全部为零 例如 n阶单位矩阵： 特点：主对角线上元素为1，其它元素全部为零 例如 矩阵的初等变换 初等行变换 定义 初等列变换 定义 初等变换 定义 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换 定义 等价的性质： 反身性：A～A 对称性： 若A～B，则 B～A 传递性：若A～B ，B～C，则 A～C 阶梯形矩阵： 能画出一条阶梯线下方全为0； 每个台阶只有一行（即竖线的长度为一行）； 竖线后面的第一个元素非零 满足以上三个条件的矩阵称为阶梯形矩阵 例如 行最简形矩阵： 满足以下两个条件的行阶梯型矩阵称为行最简形矩阵： 非零行的第一个非零元为1； 非零行的第一个非零元所在的列的其他元素都为0 例如 线性方程组的系数矩阵 n元线性方程组 未知量的系数 按照它们在方程组中的位置确定 的矩阵 矩阵A称为 该方程组的系数矩阵 未知量的系数 和常数项 按照它们在方程组中 的位置确定的矩阵 矩阵B称为该方程组的增广矩阵 线性方程组由增广矩阵B唯一确定 即： 线性方程组 增广矩阵B 注： 增广矩阵的每一行、每一列分别代表什么含义？ 能够根据线性方程组写出增广矩阵 能