线性方程组讲2周.PPT

第三章 线性方程组 §1 消元法 §2 n维向量空间 §3 线性相关性 §4 矩阵的秩 §5 线性方程组有解判别定理 §6 线性方程组解的结构 §1 消元法 现在讨论一般线性方程组： (1) 其中 为n个未知量，s为方程个数； 为 方程组的系数， 为常数项。s与n不一定相等。满足方程组（1）的有序数组 称为方程组的解；解的全体称为解集合。如果两个方程组有相同的解集合，就称为它们是同解的。 ， 。 例 解方程组 方程组的解为（9，-1，-6）。 用初等变换解一般线性方程组： 对于方程组（1）如果 的系数 全为零，（1）可以看为 的方程来解。否则，利用初等变换（3）可以设 ，用变换（2）将方程组（1）变为： （3） 其中 其中 当 时，方程组无解； 当 时，分两种情况： 1）r=n，这时阶梯形方程组为 其中 。这时方程组有唯一解。 2）rn，阶梯形方程组为 这时，有无穷多组解。由（7）式，我们可以把 通过 表示出来，这样一组表达式称为方程组（1）的一般解，而 称为一组自由未知量。 rn，是不可能的。 总之：首先将方程组化为阶梯形的方程组，若 ，则方程组无解； 若 ，方程组有解。在有解的情况下，若r=n，有唯一解；若rn有无穷多解。 用初等变换化方程组为阶梯形方程组就相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵。所以，解方程组一般用增广矩阵化简。 例 解 对增广矩阵 作初等行变换 例 解 对增广矩阵作初等行变换 从最后一行可以看出原方程组无解。 §2 n维向量空间 消元法是解方程组的一个行之有效的算法。但有时需要直接从原方程来判是否有解？并且，消元法化为阶梯形方程组的过程中，最后剩下来的方程个数是否是唯一的？这些问题都需要用向量的知识来解决。 定义4 向量 称为向量 的和，记为 满足 交换律 结合律 定义7 设k为数域P中的数，向量 称为向量 与数k的数量乘积，记为 。 定义8 以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间。 向量可以表示为行向量和列向量： §3 线性相关性 以下我们总是在一固定的数域P上的n维向量空间讨论。 本节我们讨论向量的线性关系。两个向量的之间的关系是成比例， 及 多个向量的比例关系表现为线性组合。 定义9 向量 称为向量组 的一个线性组合，如果有数域P中的数 使 零向量是任一向量组的线性组合。 定义10 如果向量组 中每一向量 都可以经过向量组 线性表出，那么向量组 就称为可以经过向量组 线性表出。如