线性规划（LinearProgramming）.PPT

矩陣（Matrix）-線性規劃（Linear Programming） 的補充教材 黃仲正 行銷與流通管理系 南台科技大學 矩陣-1 Matrix (矩陣) 是什麼? 把一堆數字放在一起, 整整齊齊地排成一個矩形, 就成為一個 Matrix. 直行橫列: 矩陣的每一橫排叫做一 列 （ Row ）, 最上面那排叫做第一列; 矩陣的每一直排叫做一 行 （ Column ）, 最左邊那排叫做第一行. 2.6　矩陣的定義 若m及n為正整數，且每一個aij(1?i? m, 1?j? n)皆為實數(或複數)，則： 矩陣-2 描述 Matrix 大小時, 先講高 (列, 有多少 Rows?) 後講寬 (行, 有多少 Columns?). 同樣地, 指名 Matrix 內元素時, 先講 Row 再講 Column. 元素a11 , a22 , a33 ,…, ann ,構成主對角線(Main Diagonal). 特殊矩陣-1 行向量 列向量 方陣 上三角方陣 下三角方陣 零矩陣 單位方陣 純量方陣 特殊矩陣-2 向量( Vector )是僅有一列或一行的矩陣。 寬度只有一行 Column 的 Matrix (廋高型) 叫做 Column Vector, 行向量; 高度只有一列 Row 的 Matrix (寬扁型) 叫做 Row Vector, 列向量. 長寬(m = n)相等的矩陣A叫做 方陣( Square Matrix, Ann ). 特殊矩陣-3 Zero Matrix (0 矩陣, Null Matrix): 所有元素均為 0. 記為 0 或 [0]mxn. 通常把它的大小寫成下註標, 因為指定大小的 0 矩陣就只有那麼一個. Diagonal Matrix (對角方陣): 主對角線之外的所有元素均 0 的方陣.可簡記為diag(a11 , a22 , a33 ,…, ann ) 特殊矩陣-4 若一方陣的對角線以下(上)的元素皆為0, 則稱為上 (下)三角方陣. （主對角線元素a11 , a22 , a33 ,…, ann 可為0或不為0.） 特殊矩陣-5 Identity Matrix (單位方陣): 對角線上所有元素均為 1 的對角方陣. 記為 I. 通常把它的大小寫成下註標In, 因為指定大小的單位方陣就只有那麼一個. 在矩陣的世界中, 單位矩陣扮演 1 這個數字的角色. 想想看, 不論矩陣 A 的內容如何, A*I 是多少? I*A 又是多少? (假設 A 的大小與 I 正好可相乘). Symmetric Matrix (對稱方陣): 沿著左上到右下的 45 度線對稱的方陣. 亦即滿足 A = A 的方陣. 2.8　轉置矩陣-1 2.8　轉置矩陣-2 2.7　矩陣的運算 2.7.1　二矩陣的相等 二矩陣的相等與不相等 矩陣運算-相加 兩 Matrices 若同寬且同高則可相加減 -- 對應位置的元素相加減, 產生一個與原 Matrices 相同大小（同階）的新 Matrix. 2.7.2　二矩陣的相加 矩陣的乘法-1 Matrix 與單純的一個數字 (稱為 Scalar 純量, 假設是：k) 可以相乘, 效果是每個元素一起放大 (或一起縮小), 產生一個與原 Matrix 相同大小的新k倍的 Matrix. 簡單的 Matrix 乘法: 若列向量 A = [x1,x2,...,xn] 的寬度與行向量 B = [y1;y2;...;yn] 的高度一樣, 則兩 Matrices 可相乘: （也可以寫成轉置矩陣BT【列矩陣】 = [y1,y2,,..,yn]）A * B = x1*x2 + x2*y2 + ... + xn*yn. 注意: 結果是一個單獨的數字! (一個純量) (參考上圖) 矩陣的乘法-2 一般的 Matrix 乘法: A 寬必須同 B 高才可算 C = A * B, 且結果 C 與 A 同高, 與 B 同寬. C 的第 i 列第 j 行元素, 為 A 的第 i 列向量與 B 的第 j 行向量之乘積: C[i;j] = A[i;] * B[;j]. 矩陣與純量的乘法範例 2.7.3　矩陣的倍數 矩陣的乘法-3 矩陣的乘法-範例 矩陣的乘法-4 矩陣的乘法-5 矩陣的乘法-範例2 矩陣的乘法-範例3 矩陣的乘法-範例4-A 矩陣的乘法-範例4-B 矩陣的乘法-範例4-C 矩陣乘法不具交換性。 矩陣乘法不具交換律 矩陣的消去律不一定成立 一般而言，矩陣的消去律不一定成立。 * * 稱A為實數(或複數)矩陣，可記為A = [aij]mxn，其階數（Order，或維度，Dimension）為m x n，即A有m列（Row）及n行（Column）。 a