指对数函数复习.DOC

指、对数函数复习 应用举例 1、若关于x的方程有实根, 求a的取值范围。 2、已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x）， f（x）=-f（-x），当x∈［0，1）时，f（x）=2x-1，求。 3、已知f（x）=，A=f（x+1），B=f（x）+f（1）， 试比较A与B的大小。 4、已知f（x）= ， ⑴求函数f（x）的定义域和值域； ⑵求证f（x）在（-∞，+∞）上为增函数； ⑶求f-1（x）。 5、已知二次函数f（x）=ax2+bx满足f（2）=0，且方程 f（x）=x有等根。 ⑴求f（x）的解析式； ⑵问是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域为［m，n］， 值域为［2m，2n］，如存在，求出m，n的值，如不说明理由。 6、已知函数f（x）在R上是增函数，且f（k3x）-f（9x-3x+2）＜0 对任意的x∈R都成立，求实数k的取值范围。 分析与解答参考 1、若关于x的方程有实根, 求a的取值范围。 解法⑴：设 ， 则0t≤1。 由得 由0＜t≤1，得-3≤a＜0。 因此a的取值范围是。 评析： 求关于x的方程有实根的a的取值范围，可 以转化为求函数的值域，然后通过换元， 这种有意识的转化思想起到了化难为易的神奇作用，但必须注意在换元 的同时要由原自变量的范围确定新元的变量范围，否则不等价。 解法⑵： 令f（t）=t2-4t-a=（t-2）2-a-4 （0＜t≤1） f（t）= 0在0＜t≤1有实根，当且仅当 f（0）＞0 f（1）≤0 解得 -3≤a＜0。 解法⑶： t2-4t-a=0 （0＜t≤1） t=2 ∈（0，1］即 0＜2- ≤1， 解得 -3≤a＜0。 评析： 解法⑵也是一种设计函数的解题方法，可以与解法⑴作比较，各有 特色。解法⑶是用求根法，同样可以解决问题。 2、已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x）， f（x）=-f（-x），当x∈［0，1）时，f（x）=2x-1，求 解：设，则。 评析： 这是解决此类问题的通法：第一步设x为所求区间中的变量，第二 步将所求的区间转化为已知的区间，第三步代入已知区间中的函数解析 式，第四步根据已知条件再转化为f(x)。 3、已知f（x）=，A=f（x+1），B=f（x）+f（1）， 试比较A与B的大小。 解： 评析： 灵活在运用函数的性质比较大小，是函数性质应用的常见题型，较 复杂的大小比较，通常用作差或比商来完成。 5、已知二次函数f（x）=ax2+bx满足f（2）=0，且方程 f（x）=x有等根。 ⑴求f（x）的解析式； ⑵问是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域为［m，n］， 值域为［2m，2n］，如存在，求出m，n的值，如不说明理由。 解：（1）依题意，方程ax2+(b-1)x=0有等根 ∴ (b-1)2=0即b=1 又 f(2)=0，∴4a+2b=0，∴a=。 ∴ （2）∵ ∴ ∵ 。 ∴ 设m，n存大，则 f(m)=2m 即 f(n)=2n 又 即存在实数m=-2，n=0，使f(x)的定义域为[-2，0],值域为[-4,0]。 评析： 二次函数问题是函数中的重要题型，本题先用待定系数法确定解析式， 然后再利用二次函数性质，把二次函数的定义域和值域联系起来。 6、已知函数f（x）在R上是增函数，且f（k3x）-f（9x-3x+2）＜0 对任意的x∈R都成立，求实数k的取值范围。 解：由已知f(k·3x)＜f(9x-3x+2)对x∈R恒成立 解法⑴：令t=3x，则t＞0，上式等价于 g(t)=t2-(k+1)t+2＞0，对t∈(0，+∞)恒成立 根据二次函数的图象性质得 或 即 或 ∴ k＜。 解法⑵：函数f（x）在R上是增函数，且f（k3x）-f（9x-3x+2）＜0 对任意的x∈R都成立，等价于 K3x＜9x-3x+2 对一切x∈R恒成立，等价于 对一切x∈R恒成立， 令 ，只要k＜h(x)的最小值。 ∵ ， ∴ 。 ∴ 。 故所求k的取值范 。 评析： 对于没有给出具体解析式的抽象函数f(x)，如果知其单调性，就可以 脱去函数值不等式中的函数符号。同时还充分说明了二次函数图象和性质 的工具性作用。对于不等式恒成立问题，常分离字母系数，并构造函数求 出其最值来确定字母系数取值范围，不失为一个简单有效的方法。