搭好线性规划台巧解非线性规划题-湖北黄梅第一中学.DOC

搭好线性规划台，巧解非线性规划题 湖北省优秀学科教师　黄冈学术带头人 黄冈名师 黄冈骨干高级教师 黄冈师范学院硕士生导师 黄冈市中考命题审题组成员 黄梅首届名师 黄梅十佳教师 国家奥赛优秀辅导员 中国奥赛一级教练员 黄梅一中 王卫华 邮编435500 2651298303@ 线性规划作为新增内容，是直线方程的一个简单应用，是新大纲重视知识应用的体现，应该引起足够重视．但在近几年全国各地的高考试卷中，出现了不少非线性规划的问题．笔者以为：约束条件为非线性的；目标函数为非线性的或约束条件、目标函数都为非线性的规划问题均为非线性规划问题，由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，处理起来不容易，如何处理这些题呢？其步骤与线性规划类似：作出约束区域，根据目标函数的结构，赋予合理的几何意义，再根据几何意义求出目标函数的最值和最优解．本文列举数例，旨在抛砖引玉． 一．利用直线的斜率求最值 例1．设实数x, y满足 解：不等式组确定的三角形区域ABC， 表示两点(0,0),A(x,y)的斜率, 要求的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值.由图可以看出直线OA的斜率最大，即为．故答案为． 点评：解题的关键是理解目标函数的几何意义，当然本题也可设=t，则y=tx，即为求y=tx的斜率的最大值.显然y=tx过点A时，t最大.A为x+2y-4=0与2y-3=0的交点.∴A(1, ).∴代入y=tx，求出t=，即得到的最大值是． 二．利用面积求最值 例2．已知 ，求的最大值． 简析：根据约束条件作出可行域，如图—2所示，表示可行域中的点到两坐标轴距离的乘积，即过该点作两坐标轴的垂线，垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积．由图—2可知：在点处取到最大值， 三．利用距离的意义求最值 例3．已知平面区域，函数z=问z在哪一点处取得最大值和最小值？最大值和最小值各是多少？ 可行域边界的交点A，B，C易求A()、B()、C()因为，因为方程表示的曲线为以点为圆心，半径为的圆.考察图知，当圆与取得最小值，此时Zmin=，当圆取得最大值，此时Zmax=． 评析：由于圆的半径为，所以同一圆弧上的点对应的Z值相等，且圆的半径越大相应的Z值越大，这是判断最优解的依据.而且这一思路可以适用于更为一般的曲线问题.，求z的最值等．解题最关键的还是要弄清楚z的几何意义，利用数形结合的数学思想来解决问题． 四．利用函数值的几何意义求最值 例4．若动点(x，y)在曲线(b0)上变化，则x2?2y的最大值为( ) (A) ； (B) ； (C) ； (D) 2b． 分析：曲线当时，表示焦点在轴上的椭圆；当时，表示焦点在轴上的椭圆。当，表示半径为2的圆。 即，表示开口向下，对称轴为轴的抛物线。z表示抛物线在轴上截距的2倍，所以抛物线在轴上的截距越大，z越大，由图—4知曲线与有公共点，即方程组在内有根，当在内有二根时，即时，解得，即；当在内有一根时，即时，解得，即，故选A． 五．利用曲线的相似性求最值 例5．已知 ，求． 分析：根据约束条件画出可行域，如图—5所示，因为，当时， 表示焦点在轴上的具有相同离心率的相似双曲线．双曲线顶点到中心的距离越大，值越大．由图—5（1）可知：当且仅当双曲线经过点时，取到最大值；无最小值．当时， 表示焦点在轴上的具有相同离心率的相似双曲线．值越大，双曲线顶点到中心的距离越大， 值越小．由图—5（2）可知：当且仅当双曲线经过点时，值最大，即取到最小值；无最小值即无最大值． 综上：，． 实战演练 已知求(1)z=x2+y2-10y+25的最小值，(2) z=x+2y-4的最 大值；(3) z=的范围. 2．已知，R，且，满足方程，试求的最大值、最小值． 3．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是 A． B．4 C ． D．2 4．约束条件所表示的平面区域内的整点个数为（ ） A．n个 B．2n个 C．3n个 D．4n个 5．设全集， ，若CUP恒成立，则实数r最大值为 ． 6．不等式组区域的平面区域的面积是 （） A． B． C． D．. 同理可得(2) z=x+2y-4的最大值为21；(3)z=的范围是[]). 2．将所求经过令变形为，而是直线在轴上的截距，再根据是上的点，故可采用判别式法去解决． 由已知得，将①代入②得： ，∴≥. ∴≤≤∴的最大值为，最小值为. 3．本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积． 由题知可行域为， ，故选择B． 4．C ．y0，y≤-nx+3n 知0x3，∴x=1，2，当x=1时，0y