数列模型.PPT

第四章 数列模型 对于实际问题，如果它的量的变化是离散的，只要能找到量前后变化之间的数量关系就可以建立数列模型，然后用数列之定义、性质、思想方法等知识解决问题。数列既然是变化的，所以，在大多数情况下，我们也需要研究数列的变化趋势即极限，数列、极限在实际生产、生活中有着广泛的应用，它主要用于解决涉及到利率、浓度、环保、投资、人口等诸多方面的实际问题。 例1 学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有两样菜A、B可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选A菜的，下星期一就会有%20改选B；而选B菜的，下星期一则有%30改选A。设An，Bn表示在第n个星期一选A、B的人数，记A1=a,试求出An通项公式。 解 由题意易得 令 Xn=An-600，所以上式变为 本题表面上看，每周改选菜A的人居多，是不是若干周之后，学生都选A菜了呢？由 ，知选A菜的学生人数上限为600，并不是所有学生都会去选A菜。这也许是口味经常在变的原因吧。 例2 传染病的传播 对于传染病传播问题，人们通过长期观察发现传染病在传播过程中所涉及的因素很多，例如，传染病人的多少，易受感染者的多少，免疫者（或感染后痊愈者）的多少，该传染病的平均患病时间等。请在认真分析以上因素之间关系的前提下，建立一个关于传染病传播的数学模型，并根据这个数学模型对传染病传播的情形作一个分析，如预防针或好的药品对该病传播的影响。 [基本假设]我们先给出两条假设：　　 由（*）式得： 因为当 时，传染病人数有增加的趋势，当 时，有减少的趋势，所以 是该传染病的一个临界值，它与 的值有关。我们总希望增大 的值，即增大 的值或降低 的值。如果采取预防措施（如打预防针等），那么可以降低发病率从而降低 值，如果发明了一种好的药品可以缩短患病期，那么就可以提高传染病人每天的痊愈率 。 说明 在本题中，利用数学模型，可以预测传染病人传播的趋势，及时采取预防和治疗措施，将病情加以控制。利用（*）式，还可以进一步讨论临界值 对传染病传播的影响，说明提高临界值，即增大 值或者降低 值的重要性，便于有关医疗卫生部门进行决策和管理。 例3 节水洗衣机问题 我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水－漂洗－脱水－加水－漂洗－脱水（称“加水－漂洗－脱水”为运行一轮）请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮，每轮加水量等）。使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。有条件的同学，可以选用合理的数据进行计算对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果作出评价。 [问题剖析] 我们以极限思想来思考一下洗衣机节水问题：若用水量为零，显然洗不净衣物；若用水量为无穷大，则肯定浪费水。因此必然存在刚好“洗净”衣物的“最少”用水量。 洗衣的基本原理就是将吸附在衣物上的污物溶于水中，通过脱去污水而带走污物。“溶污物－脱污水”是由两个根本元素构成的一个“元动作”，洗衣的过程就是通过加水来实现上述“溶污物－脱污水”动作的反复执行，使得残留在衣物上的污物越来越少，直到满意的程度。 通常洗衣要加入洗涤剂，它帮助衣物上原有的污物溶解。但是应注意的是，洗涤剂本身也是不希望留在衣物上的东西，因此“污物”应是衣物上原有污物与洗涤剂的总和。有了这种认识后，我们就可以统一地处理“洗涤”（即通常加洗涤剂的首轮洗衣）和“漂洗”（即通常的以后各轮洗衣，不再加洗涤剂，但水中还有剩余洗涤剂），把二者都看作“溶污物”环节。 “脱污水”在洗衣机中通常称为“脱水”，常由排水和甩干两个步骤组成。 立足于“溶污物－脱污水”这种基本原理，我们可以找出“节水洗衣机”问题的基本要点如下： ①污物的溶解情况如何？ 按常理是首轮漂洗不能脱去衣物上所有污物，以后各轮漂洗时均有一定污物溶于水中，溶于水中的污物量还跟该轮用水量有关。但对中学生而言，在这种分析下建立模型将十分困难，于是我们可以理想地假设为首轮漂洗时衣物上所有污物均溶解于水中，即每轮脱水后衣物上剩余的污物只含于该轮衣物上的残留污水中。 ③如何设计由一系列“溶污物－脱污水”构成的节水洗衣程序？ 本题的优化目标是节约用水，即要求各轮用水量之和要最少，并在这个前提下，求出共需洗多少轮，每轮用水量为多少。这可以通过用水程序来反映，也是我们最终需要的结果。 在整个洗衣过程中，设共进行n轮“加水－洗涤－脱水”的过程，依次为第