数值计算中的误差-Read.PPT

在用数值方法解题过程中可能产生的误差归纳起来有如下几类： 1. 模型误差 2. 观测误差 3. 截断误差 4. 舍入误差 （2）防止大数“吃掉”小数 例 求二次方程x2-105x+1=0的根 解：按二次方程求根公式 x1=(105+(1010-4)1/2)/2 x2=(105-(1010-4)1/2)/2 在8位浮点数计算得 x1=(105+105 )/2=105 (正确）, x2=(105-105 )/2=0 (错误） 产生错误的原因 ① 出现大数1010吃掉小数4的情况 ② 分子部分出现两个相近数相减而丧失有 效数位常称为灾难性的抵消 （3）绝对值太小的数不宜做除数 当分母为两个相近数相减时,会丧失有效数字 例1.8 计算 算法2。分成三组因子。每组只取六位小数计算 a=0.0005/0.0003=1.666667(有舍入) b=0.0143/0.0125=1.144000 c=0.0012/0.0135=0.088889 (有舍入) D=a*b*c=1. 666667* 1.144000* 0.088889 =0.169482,准确到小数后5位。 （4）简化计算步骤，减少运算次数 x255=xx2x4x8x16x32x64x128 原先要做254次乘法现只需14次即可 又如计算多项式 p(x)=anxn? an-1xn-1 ? … ? a1x ? a0 的值 若直接计算akxk,再逐项相加，一共要做 n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2次乘法和n次加法 1.5 减少运算误差若干原则 如果将前n项提出x，则有 p(x)=（anxn-1? an-1xn-2 ? … ? a1 ）x ? a0 =((anxn-2?an-1xn-3?…? a2)x?a1）x ? a0 =(…(anx ? an-1)x?…?a2)x ? a1)x ? a0 写成递推公式 1.5 减少运算误差若干原则 于是 ,这种多项式求值的算法称为秦九 韶算法,只做n次乘法和n次加法,程序实现简单 1.5.5 控制递推公式中误差的传播 对于一个数学问题的求解往往有多种数值方法。在选择数值方法时，要注意所用的数值方法不应将计算过程中难以避免的误差放大的较快，造成计算结果完全失真。 例13 计算积分 并估计误差 解 容易得到递推公式 即 为 则准确的理论递推式 实际运算的递推式 两式相减有 这就是说,若 与 的误差为 = - ,即 ，则误差的递推规律为 于是 计算 时的误差被扩大了 倍,显然算法是数值不稳定的。 如果将递推公式 变换一种形式 准确的理论递推式 实际运算的递推式 从而有 即 于是有 则这个算法的误差传递规律为 即每计算一步的误差的绝对值是上一步的十分之一，误差的传播逐步缩小，得到很好的控制，这个算法是数值稳定的 * E-mail： jinxz865@nenu.edu.cn 授课: 60 学分：3 定义1.1 设精确值x的近似值为x* ，称差 e(x*) =x-x* 为近似值x*的绝对误差，简称误差。e(x*)又记为e* 定义1.2 设存在一个正数，使 则称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度。 1.3 误差的度量 a-ε a+ε a A 例1 设x =?=3.1415926… 近似值x* =3.14,它的绝 对误差是 0.001 592 6…，有 ?? ?x-x*?=0.0015926… ?0.002=0.2?10-2 例2 又近似值x* =3.1416，它的绝对误差是 0.0000074…，有 ?x-x*?=0.0000074… ?0.000008=0.8?10-5 例3 而近似值x* =3.1415，它的绝对误差是 0.0000926…，有 ?x-x*?=0.0000926… ?0.0001=0.1?10-3 可见，绝对误差限?*不是唯一的，但?*越小越好 则称 为近似值 的相对误差限。 简记为 定义1.3 绝对误差与精确值 x