整除性与循环小数的新发现.PDF

數學教育第二十四期 (6/2007) 整除性與循環小數的新發現 羅 楊1 華南師範大學附屬中學高二（11）班 在科學史上，往往重大的發現源於最簡單的知識與原理。「9 的乘法」 是大家很熟悉的數學知識，天天在使用，我們是否對它有感覺？能否向前 走一步，進而從中發現數學之間更有趣、更本質的規律？ 一、整除性的統一判定法則 在小學我們就知道如下的一個重要結論： 結論 1 如果一個自數的各位數字之和能被 9 整除，則原數能被 9 整除， 反之亦真。 證明 設原數為 abc de 是n 位數，則 abc de n1 n2 n3 = a 10 + b 10 + c 10 + …+ d 10 + e = a(10n1  1) + b(10n2  1) + c(10n3  1) + …+ d(10  1) + (a + b + c + …+ d + e) 由於a(10n1  1) + b(10n2  1) + c(10n3  1) + …+ d(10  1) 能被9 整 除，所以只要 (a + b + c + …+ d + e) 能被9 整除，則 abc de 能被9 整 除。 反之，只要 abc de 能被9 整除，(a + b + c + …+ d + e) 就能被9 整 除。 如數95436 的數位和為9 + 5 = 4 + 3 = 6 = 27 ，由於27 可被9 整除，所 以95436 能被9 整除。其實可繼續進行的數位和，27 的數位和為2 + 7 = 9 ， 最後得到一個一位數。我們把最後這個一位數叫「原數的根 」。 數位95436 的數位和可以看成按以下步驟分步得到95436  9543 + 6 954 + 3 + 6 95 + 4 + 3 + 6 9 + 5 + 4 + 3 + 6 ，以上數字都是9 的倍 數。這個過程不改變原數的根。由此得以下結論： 1 指導教師：羅碎海 54 EduMath 24 (6/2007) 結論 2 一個數，截去末位，並加上此末位數得一新數，當新數能被 9 整 除時，原數就能被9 整除；當新數不能被9 整除時，原數便不能被9 整除； 當新數被9 除的餘數是r 時，原數被9 除的餘數也是r 。 證明 設正整數A = 10x + y （x 為大於零的整數，y { 0 , 1 , 2 , …, 9 } ）。 這時，A = 10x + y = 10x + 10y 9y = 10(x + y ) 9y = 9(x + y ) 9y + (x + y ) 。 顯然，只要x + y 能被9 整除，A 就能被9 整除；A = 10x + y 與 (x + y ) 除 以9 的餘數相同。 由此，我們可將結論推廣到任意數： 由於A = 10x + y = 10(x + y ) 9y = 10(x y ) + 11y = 10(x 2y ) + 3 7y = 10(x + 2y )  19y = 10(x 3y ) + 31y = 10(x + 3y ) 29y = 10(x 4y ) + 41y = 10(x + 4y ) 3 13y = 10(x 5y ) + 3 17y = 10(x + 5y ) 7 7y = …… 可以得到許多新結論，如： (1) 一個數，截去末位，並減去此末位數得一新數，當新數能被 11 整除時，