方向场斜率场DirectionfieldsSlopefields.DOC

1-3方向場、斜率場 (Direction fields, Slope fields) 我們將以方向場或斜率場來做微分方程的解之行為之定量分析，其中需使用數學軟體，如：Maple、Mathematica、Matlab等來繪圖。 設為 之解曲線 令，以代入 得 即在解曲線上一點之切線斜率為 畫向量場(方向場)的步驟 1.在平面上任取一點，代入 中得 2.以點為起點(或中點)，畫斜率為之射線〔箭頭指右〕（若斜率場，則為線段），可得 之方向場（斜率場） 3.重覆以上的步驟得平面上許多射線所成之方向場（斜率場） 例： 之斜率場 例： 之方向場 究竟我們學方向場要做什麼？它有什麼好呢？ 在還沒有解出之前，我們已可看出解曲線的形狀，而當微分方程特别難解時，方向場就很好用了。 例如： (1) (2) (3) 判斷向量場的對稱性的方法： 考慮微分方程 1.若將以代入，沒有改變，則方向場對稱於軸 2.若將以代入，沒有改變，則方向場對稱於軸 3.若將以，以代入，沒有改變，則方向場對稱於原點 例：判斷 方向場的對稱性 解： 將以代入微分方程，得 或 則方向場對稱於軸，如圖 例：判斷 方向場的對稱性 解： 將以代入微分方程，得 或 則方向場對稱於軸，如圖 例：判斷 方向場的對稱性 解： 將以，以代入微分方程，得 則方向場對稱於原點，如圖 定義： 任給定常數k，的圖形稱為微分方程之等斜線(isoclines) 解曲線和等斜線的交點上之切線斜率皆為 例：求 之等斜線 解： 為等斜線，如圖 例： 之等斜線 解： 令，得等斜線 當稱為零斜線（0-isocline） 即為零斜線，如圖 例：求 之等斜線與方向場的對稱性 中，以代換，得 或 ∴解曲線全體對稱於軸 等斜線為 ，即 ，如圖 等斜線的用途？ 可用來檢驗利用數學軟體畫出的方向場是否正確。