无穷小量无穷大量.PPT

* 高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第六讲 无穷小量、无穷大量 第二章 极限 第三节 无穷小量、无穷大量 一.无穷小量及其运算性质 二. 无穷大量 一、无穷小量及其运算性质 简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量. 例1 在任何一个极限过程中, 常值函数 y = 0 均为无穷小量. 1.无穷小量的定义 定义 2. 函数的极限与无穷小量的关系 分析 反之亦然. 由以上的分析, 你可得出 什么结论 ? 由此可看出, 寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小量的运算法则. 定理 同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量. 同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小量. 3.无穷小量的运算法则 常数与无穷小量之积仍为无穷小量. 在某极限过程中, 以极限不 为零的函数除无穷小量所得到商 仍为一个无穷小量. 在某一极限过程中, 无穷小量 与有界量之积仍是一个无穷小量. 证明：在某极限过程中, 两个无穷小量之 和仍是一个无穷小量. 证 证明: 在某一极限过程中, 无穷小量与 有界量的积仍是一个无穷小量. 证 例2 证 证明 有界量与无穷小量的乘积 证明：在某极限过程中以极限不为零的函数 除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量. 证 有界量与无穷小量之积 (i) 一般说来,有界量的倒数不一定有界. 例如, f (x) = x, x?(0, 1). (ii) 我们没有涉及两个无穷小量商的极限的 情形,因为它的情形较复杂,将在以后专 门讨论. 注意： 例3 解 二. 无穷大量 定义 1.无穷大量的定义 例4 (iii), (iv) 自己画画图会更清楚. 例5 解 无穷大量是按绝对值定义的. 例6 无穷大量是否一定是无界量 ? 在某极限过程中, 无界量是否一定是无穷大量 ? 但该数列是无界的. 当 x ? ? 时, 函数 sinx、cosx, 是否为无穷大量 ？ 因为sinx、cosx 是有界函数, 所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量. 思 考 题 函数 在区间(0,1]上无界,但当 该函数不是无穷大. 证明: 时, 在区间(0,1]上无界.因为 在 中总可以找到点 ,例如可取: M. 思 考 题 *