最值范围问题-牡丹江一中.DOC

问题一：最值、范围问题 1、（2009全国卷Ⅰ文）如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。 （Ⅰ）求r的取值范围 （Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。 解：（Ⅰ）将抛物线代入圆的方程， 消去，整理得 抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根 ∴即。 解这个方程组得. （II）设四个交点的坐标分别为、、、。 则由（I）根据韦达定理有， 则 令，则 下面求的最大值。 ， ∴， 令得，或（舍去） 当时，；当时；当时， 故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大， 故所求的点P的坐标为。 例2、（2016年天津高考）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于 点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取 值范围. 【解析】 （2）（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得. 解得，或，由题意得，从而. 由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为. 设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或. 所以，直线的斜率的取值范围为. 例3、（2013年高考新课标1（理））已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. 由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3.设动圆的圆心为(,),半径为R.(Ⅰ)∵圆与圆外切且与圆内切,∴|PM|+|PN|===4,由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为.(Ⅱ)对于曲线C上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=≤2,∴R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.∴当圆P的半径最长时,其方程为,当的倾斜角为时,则与轴重合,可得|AB|=.当的倾斜角不为时,由≠R知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),∴设:,由于圆M相切得,解得.当=时,将代入并整理得,解得=,∴|AB|==.当=-时,由图形的对称性可知|AB|=, 综上,|AB|=或|AB|=. 已知椭圆C： （）的离心率为 ，，，，的面积为1. （1）求椭圆C的方程； （2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N. 求证：为定值. 【解析】⑴由已知，，又， 解得 ∴椭圆的方程为. ⑵方法一： 设椭圆上一点，则. 直线：,令，得. ∴ 直线：,令，得. ∴ 将代入上式得 故为定值. 方法二： 设椭圆 上一点， 直线PA:,令，得. ∴ 直线:,令，得. ∴ 故为定值. 例2、（2016年四川高考）已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l:y＝－x+3与椭圆E有且只有一个公共点T. （I）求椭圆E的方程及点T的坐标； （II）设O是坐标原点，直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣· ∣PB∣，并求λ的值. 有方程组 得.① 方程①的判别式为，由，得， 此方程①的解为， 所以椭圆E的方程为. 点T坐标为（2,1）. 由②得. 所以 ， 同理， 所以 . 故存在常数，使得. 例3、【2015高考新课标1】在直角坐标系中，曲线C：y=与直线(＞0)交与M,N两点， （）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程； （）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=∠OPN？说明理由. 试题解析：（）由题设可得，，或，. ，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为 ，即. 故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为 ，即. 故所求切线方程为或. ……5分 （）存在符合题意的点，证明如下： 设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为. 将代入C得方程整理得. . ∴==. 当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故OPM=∠OPN，所以符合题意. ……12分 （2013年安徽）设椭圆的焦点在轴上(Ⅰ)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;(Ⅱ)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上. 解: (Ⅰ) (Ⅱ) . 由. 所以动点P过定直线. 【2015高考浙江】已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称． （1）求实数的取值范围； （1）由题意知，可设直线AB的方程为，由， 消去，得，直线与椭圆有两 个不同的交点