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极限承载力的计算
第三节 极限承载力的计算
在土力学的发展中,已经提出了许多极限荷载公式,1920年普朗特首先根据塑性平衡理论导出了介质达到极限荷载时,沿着曲面发生滑动的数学方程,并认为介质的抗剪强度性质,可以用强度指标c,表示,但是,他的研究结果只适用于无重量的介质的极限平衡平面课题。
随后不少学者根据他的研究结果,引用来求解地基土的极限荷载,并进一步作了不同形式的修正和补充,以便在工程中加以应用。太沙基根据普朗特相似的概念,导出了考虑地基土自重影响的极限荷载公式。但这些公式都忽略了基础底面以上覆盖土层的抗剪强度的影响,故只适用于计算浅基础的极限荷载。
梅耶霍夫进一步考虑了基础底面以上覆盖层的抗剪强度的影响,从而提出了浅基础和深基础的极限荷载公式。
一.普朗特尔极限承载力公式
普朗特尔公式是求解宽度为b的条形基础,置于地基表面,在中心荷载P作用下的极限荷载Pu值。
普朗特尔的基本假设及结果,归纳为如下几点:
(1)地基土是均匀,各向同性的无重量介质,即认为土的,而只具有c,的材料。
(2)基础底面光滑,即基础底面与土之间无摩擦力存在,所以基底的压应力垂直于地面。
(3)当地基处于极限平衡状态时,将出现连续的滑动面,其滑动区域将由朗肯主动区I,径向剪切区II或过渡区和朗肯被动区III所组成。其中滑动区I 边界BC或AC为直线,并与水平面成(45+/2)角;即三角形ABC是主动应力状态区;滑动区II的边界CE或
CD为对数螺旋曲线,其曲线方程为 ,r0为起始矢径;θ为射线r与r0夹角,滑动区III的边界E G,DF为直线并与水平面成(45-φ/2)角。
(4)当基础有埋置深度d时,将基础底面以上的两侧土体用相当的均布超载来代替。根据上述的基本假设,采用刚体平衡方法或特征线法,可以得到地基极限承载力为:
式中:r:基础两侧土的容重
d:基础的埋置深度
,:承载力系数,它们是土的内摩擦角的函数,可查下表:
其中
Nr Nq Nc Nr Nq Nc 0 0 1.00 5.14 24 6.90 9.61 19.3 2 0.01 1.20 5.69 26 9.53 11.9 22.3 4 0.05 1.43 6.17 28 13.1 14.7 25.8 6 0.14 1.72 6.82 30 18.1 18.4 30.2 8 0.27 2.06 7.52 32 25.0 23.2 35.5 10 0.47 2.47 8.35 34 34.5 29.5 42.2 12 0.76 2.97 9.29 36 48.1 37.8 50.6 14 1.16 3.58 10.4 38 67.4 48.9 61.4 16 1.72 4.33 11.6 40 95.5 64.2 75.4 18 2.49 5.25 13.1 42 137 85.4 93.7 20 3.54 6.40 14.8 44 199 115 118 22 4.96 7.82 16.9 45 241 134 133
二、斯肯普顿地基极限承载力公式
对于矩形基础,斯肯普顿(1952年)给出的地基极限承载力公式为:
c——地基土粘聚力;
b、——分别为基础的宽度和长度;
——基础埋置深度d范围内土的重度。
三.太沙基极限承载力公式
对于均匀地基上的条形基础,当受中心荷载作用时,若把土作为有重量的介质,即不等于零,求其极限承载力时,太沙基作了如下假设:
1.基础底面粗糙,即的与土之间有摩擦力存在
当地基达到破坏并出现连续的滑动面时,其基底下有一部分土体将随着基础一起移动而处于弹性平衡状态,该部分土体称为弹性核或叫弹性契体,如图8-9中ABC所示。
弹性核的边界AC或BC为滑动面的一部分,它与水平面的夹角为,而它的具体数值又与基底的粗糙程度有关。
2.当把基底看作是完全粗糙时,则滑动区域由径向过渡区剪切区II和朗肯被动区III所组成。其中滑动区域II的边界CE和DC为对数螺旋曲线,其曲线方程为(r0为起始矢径)。朗肯区域III的边界DFA为直线,它与水平面成(450-φ/2)角。
3.当基础有埋置深度时,则基底以上两侧的土体用相当的均布超载来代替。根据上述假定,经推导可得地基的极限承载力
式中:Nr,Nq,Nc称为承载力系数,都是土的内摩擦角的函数。
其中:
但对Nr,太沙基并未给出公式。太沙基将Nr,Nq,Nc可以查表8-4得。
几点说明:
(1)当把基础底面假定为光滑时,则基底以下的弹性核就不存在,而成为朗肯主动区I了,而AC面与水平面的夹角ψ=(450+φ/2)而整个滑动区域将完全与普朗特尔的情况相似,因此,由C,q所引起的承载力系数即可直接取用普朗特尔的结果,即:
而由土容重所引起的承载力系数则采用下列半经验公式来表达:
将
代入:
即可得基础底面完全光滑情况下的太沙基
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