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九年级数学(下)三角函数的应用
伊战生 直角三角形的边角关系 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角. 如图:点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°(西南方向) 船有无触礁的危险 古塔究竟有多高 楼梯加长了多少 联想的功能 联想的功能 本节课你有收获吗? 1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念(方位角; 等) 2.实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形) 钢缆长几何 真知在实践中诞生 大坝中的数学计算 解答问题需要有条有理 计算需要空间想象力 回味无穷 由锐角的三角函数值反求锐角 * 三角函数的应用 古城中学 直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=900. 直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2. 回顾与思考 驶向胜利的彼岸 b A B C a ┌ c 互余两角之间的三角函数关系: sinA=cosB. 特殊角300,450,600角的三角函数值. 直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数 同角之间的三角函数关系: sin2A+cos2A=1. 已知斜边求直边, 已知直边求直边, 已知两边求一边, 已知直边求斜边, 正弦余弦; 运用正切; 勾股定理; 用正余弦; 优选关系式 C A B a b c 30° 45° B O A 东 西 北 南 方位角 问题:海中有一个小岛A,它的周围8海里范围内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行. 问题1 驶向胜利的彼岸 要解决这个问题,我们可以将其数学化。 请与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做? 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗? 问题:海中有一个小岛A,它的周围8海里范围内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险? B A D F 60° 12 30° 解:过A作AF⊥BD于F.设AF=x海里 在Rt△ABF中,∠BAF=60° ∴ x=6 8 在Rt△ADF中,∠DAF=30° ∴DF=AF·tan30°= x ∵BF-DF=BD ,即 ∴没有触礁的危险 ∴BF=AF·tan60°= x x 猜一猜,这座古塔有多高 你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗? A B 1 2 小明在A处仰望塔顶,测得∠1的大小为α,再往塔的方向前进50m到B处,又测得∠2的大小为β,根据这些他就求出了塔的高度. 你会做的吗 如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m). 问题2 要解决这问题,我们仍需将其数学化. 请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去做? 现在你能完成这个任务吗? 例题欣赏 D A B C ┌ 50m 300 600 答:该塔约有43m高. 解法1:如图,根据题意,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m. 老师期望:这道题你能有更简单的解法. 解:CD=x,∠ADC=60o,∠BDC=30o, 在Rt△ADC中,tan60o= 在Rt△BDC中,tan30o= ∵AC-BC=AB C A B D A B C E 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用,如在测量高度、距离、角度,确定方案时都常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题,常通过作辅助线构造直角三角形来解. 温馨提示 D 怎样解决一般三角形中的问题呢? 某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m). 我能行 现在你能完成这个任务吗? 驶向胜利的彼岸 请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去做? A B C D ┌ 这样做 驶向胜利的彼岸 解:如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(1)AB-BD的长,(2)AD的长. A B C D ┌ 4m 350 400 答:调整后的楼梯会加长约0.48m. 这样做 驶向胜利的彼岸 解:如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(2) AD的长. A B C D ┌ 4m 350 400 答:楼梯多占约0.61m一段地面. 感悟:利用解直角三角形的知识解决实际问题 的一般步骤: 1.将实际问题抽象为数学问题; (画出
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