比与比例-屏东大学机构典藏.PDF

比與比例 蘇薇蓉 高雄市岡山區岡山國小 劉曼麗 國立屏東大學科普傳播學系 一、前言 「比」的概念往往與我們日常生活中食衣住行的買賣活動、混合活動以及交 換活動等息息相關。而在兒童尚未正式學習「比與比值」或是「比例」等數學課 程前，「比」的概念就已經與孩子們的生活融為一體了。無論是一杯牛奶要多少 水搭配多少奶粉，或是到超市買餅乾一次買六包要付多少錢，甚至是兒歌中的歌 詞「一隻青蛙四條腿，兩隻青蛙八條腿 …」，都透露了「比」的概念無所不在。 但在教師的教學與學生學習「比」的經驗中，往往流於介紹比的公式，接著就進 行比例問題的計算，使得學生對「比」的概念常停留在一知半解，甚至是完全侷 限於公式的記憶與計算（魏宗明、劉祥通， 2003 ）。Skemp （1987）也指出學生 無法把較為抽象的「比」概念與現實生活結合在一起，對比例問題的了解只停留 在機械性理解，把「比」當成是一種沒有理由的規則記憶。 那麼到底什麼是「比」呢？就數學而言，比是 「代表兩個數量間的對等關係」。 當我們進一步要比較兩個比時，因涉及關係間的比較，還須學習「比值」，此為 比的「量化」結果。透過比值的大小，便可直接比較兩個比，甚至是多個比的比 較。比中的兩個數量依情境或語意的不同，又可產生不同的對等關係，進而形成 了交換問題、組合問題、母子問題、密度問題、伸縮問題等五種不同情境的比例 問題。 「比」、「比值」、「比例」、「成比例」以及「比例式」這些與比相關的 數學名詞看似相近，但涵義卻大不相同，極易使人混淆。對學童而言，更是難以 釐清之間的差異與關聯。另外，比例問題解題也是學習比例概念重要的一環，比 例問題的情境分類、比例項中未知數的位置、前後比例項的轉換方式、數值範圍 以及各種不同的解題策略等，都是學童解題成功與否的重要因素，倘若教師在教 學中未協助學童釐清上述概念，則比例問題的解題自然淪為公式算則記憶或機械 性理解而已。因此，本文分成兩個部份探討。第一部份主要澄清比、比值、成比 例與比例式等基本概念；而第二部份則討論比例問題的情境分類，以及影響比例 問題的解題因素與解題策略等內容。此外，文中也臚列出九年一貫數學課程之比 例相關教材示例，以提供教師在閱讀比例概念之理論的同時，與教學實務互相參 照，能對「比與比例」有更深層的認識與了解。 二、比與比例相關名詞的定義與概念 生活中常常使用的「比」，如爸爸「比」媽媽高、我的錢「比」你多、哥哥 「比」弟弟重…等，這些語句中都有「比」字，但它們卻與數學上所稱「比」的 意義大相逕庭。那到底什麼是數學上的「比」呢？ （一）比 簡單而言， 「比」是「兩個數量間的關係」，也就是兩個數量間形成一個對 等關係。因此，以上述的三個例子來說，我們並不知道真正的數量為多少，當然 就無法利用比來表示兩個數量的對等關係。但若我們知道爸爸的身高是 168 公 分、媽媽的身高是 164 公分，不僅能從兩個數量的大小判斷出爸爸比媽媽高，也 能將爸爸的身高與媽媽的身高這兩個數量以比的符號 「168 ：164」來表示，如此， 就是數學上的「比」。歷年來的國小數學課程也都對「比」下了定義，如下圖 1 。 將比定義為「兩量倍數關係的另一種說法或記法」。如「5塊餅乾 5 是 2塊餅乾的 倍，這種關係也可以寫做 5 ：2 ，讀做五比二」；但 64 2 年 將比視為是比較量和基準量的倍數關係來看，僅能用在記錄兩同類 版 量。當日後遭遇兩異類量時，如「 2 公尺的鐵條重3 公斤」，這樣的 定義就不適宜了。（教育部，1975 ） 圖 1 歷年國小數學課程對「比」之定義 將「比」定義為「兩數量之間的對等關係」；對等關係是指兩數量 A、B之間，由於某種原因，而產生一種配對關係，就稱此兩數量是