习题课-集合.ppt

习题课 主要内容 集合的两种表示法 集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区别与联系 特殊集合：空集、全集、幂集 文氏图及有穷集合的计数(包含排斥原理) 集合的?, ?, ?, ?, ?等运算以及广义?, ?运算 集合运算的算律及其应用(证明) 习题课 熟练掌握集合的两种表示法 能够判别元素是否属于给定的集合 能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含关系 熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算） 掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法 习题课 1．判断下列命题是否为真 (1) ??? (2) ??? (3) ??{?} (4) ??{?} (5) { a, b } ? { a, b, c, {a, b, c}} (6) { a, b } ?{ a, b, c, {a, b}} (7) { a, b} ? { a, b, {{a, b}}} (8) { a, b} ?{ a, b, {{a,b}}} 习题课 (1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法： 把 a 作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的 a 可能是集合表达式. (2) 判断A?B的四种方法 若A,B是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否在B中出现. 若A,B是谓词法定义的，且A, B中元素性质分别为P和Q, 那么“若P则Q”意味 A?B，“P当且仅当Q”意味Ａ=Ｂ． 通过集合运算判断A?B，即A?B = B, A?B = A, A?B = ?三个等式中有一个为真. 通过文氏图判断集合的包含（注意这里是判断，而不是证明） 习题课 2．设 S1={1, 2, … , 8, 9}， S2={2, 4, 6, 8} S3={1, 3, 5, 7, 9} S4={3, 4, 5} S5={3, 5} 确定在以下条件下X是否与S1,…,S5中某个集合相等？如果是，又与哪个集合相等？ （1）若 X?S5=? （2）若 X?S4但 X?S2=? （3）若 X?S1且 X ?S3 （4）若 X?S3=? （5）若 X?S3 且 X ? S1 习题课 解 (1) 和S5不交的子集不含有3和5，因此 X=S2. (2) S4的子集只能是S4和S5. 由于与S2不交，不能含有偶数，因此 X=S5. (3) S1, S2, S3, S4和S5都是S1的子集，不包含在S3的子集含有偶数，因此 X=S1, S2或S4. (4) X?S3=?意味着 X是S3的子集，因此 X=S3或 S5. (5) 由于S3是S1的子集，因此这样的X不存在. 小 结 集合运算律 1．只涉及一个运算的算律： 交换律、结合律、幂等律 小 结 集合运算律 2．涉及两个不同运算的算律： 分配律、吸收律 例判断A ?(B?C) = (A ? B)?(A ? C)是否成立 小 结集合运算律 3．涉及补运算的算律： D.M律，双重否定律 小 结集合运算律 4．涉及全集和空集的算律： 补元律、零律、同一律、否定律 习题课 3. 判断以下命题的真假，并说明理由. （1）A?B = A ? B=? （2）A?(B?C) = (A?B)?(A?C) （3）A?A = A （4）如果A?B = B，则A = E. （5）A = {x}?x，则 x?A且x ? A. 习题课 先将等式化简或恒等变形. 查找集合运算的相关的算律，如果与算律相符，结果为真. 注意以下两个重要的充要条件 A?B = A ? A?B = ? A?B = ? ? A?B ? A?B = B ? A?B = A 如果与条件相符，则命题为真. 如果不符合算律，也不符合上述条件，可以用文氏图表示集合，看看命题是否成立.如果成立，再给出证明. 试着举出反例，证明命题为假. 习题课 解 (1) B=?是A?B=A的充分条件，但不是必要条件. (2) 这是D.M律，命题为真. (3) 不符合算律，A??时假. (4) 命题不为真. A?B=B的充分必要条件是 B?A，不是A=E. (5) 命题为真，因为 x 既是 A 的元素，也是 A 的子集 习题课 4．证明 A?B = A?C ? A?B = A?C ? B = C 习题课 方法一：恒等代入法 B = B?(A?B)