代数综合【解析版】.doc

全国联赛代数问题选 已知实数满足，，则____． 【答】 0. 由题意知，所以 整理得，所以0. 2．使得不等式对唯一的整数成立的最大正整数为 ． 【答】144. 由条件得，由的唯一性，得且，所以，所以. 当时，由可得，可取唯一整数值127. 故满足条件的正整数的最大值为144. 3．已知为整数，且满足，则的可能的值有_________个 【答】 由已知等式得，显然均不为0，所以＝0或. 若，则.又为整数，可求得或所以或. 因此，的可能的值有3个. 4．已知非负实数满足，则的最大值为_________ 【答】 ， 易知：当，时，取得最大值. 5. 张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 【 】 【答】 若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法. 要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种. 因此，所求概率为. 6．设表示不超过实数的最大整数，令.已知实数满足，则_________ 【答】 1 设，则，所以，因式分解得，所以. 由解得，显然，所以1. 7．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔． 207 【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则 所以， 于是是整数．又， 所以，故y的最小值为207，此时．实数满足：一元二次方程的两根为，一元二次方程的两根为，则所有满足条件的数组 ． ，（为任意实数） 由韦达定理得 由上式，可知． 若，则，进而． 若，则，有（为任意实数）． 经检验，与（为任意实数）满足条件已知正整数满足，则的最大值为 ． 【解答】由已知，消去c，并整理得 ．由≤66，可得1a≤3． 若，则，无正整数解； 若，则，无正整数解； 若，则，于是可得．i）若，则，从而可得；ii）若，则，从而可得． 的最大值为．对于任意实数，定义运算“*”为：， 且，则的值为（ ）． 【解答】设，则 ，于是．设非零实数，，满足则的值为（ ）． 【解答】由已知得，．，所以．的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是_________个 答案：2? 解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数． ≥0，又2≥，所以， 当时，解得??； 当时，解得??． 13. 设an=（n为正整数），则a1+a2+…+a2012的值????????1. （填“＞”，“＝”或“＜”） 【答案】?＜ 解：由an==，?得 ?a1+a2+…+a2012= =＜1. 14. 红、黑、白三种颜色的球各10个．把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等，?那么共有???????????种放法． 【答案】25 解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有 1≤≤9， ?且 ，??????????????????（1） ? 即???????????????，????????????（2） 于是?．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到 ． ?此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取?9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y=5，或者z=5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有? 9×3－2 = 25种放法． 15. 设，则代数式的值为( ). 【答】﹣1 解：由已知得 于是 16. 已知为实数，且满足，，则的最小值为 解：由 可得 于是 ． 因此，当时，的最小值为． 17. 若，，且满足，则的值为( ). 【答】 解：由题设可知，于是 ，所以． 故，从而．于是． 18. 设，则的整数部分等于( ). 【答】4 解：当，因为， 所以． 于是有，故的整数部分等于4． 19. 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3