信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的求解.ppt

§ 7.3 连续时间LTI系统 状态方程的求解 一、拉普拉斯变换法求解状态方程 一、拉普拉斯变换法求解状态方程 一、拉普拉斯变换法求解状态方程 一、拉普拉斯变换法求解状态方程 一、拉普拉斯变换法求解状态方程 一、拉普拉斯变换法求解状态方程 二、用时域法求解状态方程 二、用时域法求解状态方程 二、用时域法求解状态方程 二、用时域法求解状态方程 二、用时域法求解状态方程 二、用时域法求解状态方程 二、用时域法求解状态方程 二、用时域法求解状态方程 二、用时域法求解状态方程 二、用时域法求解状态方程 二、用时域法求解状态方程 三、由状态方程求系统函数 三、由状态方程求系统函数 三、由状态方程求系统函数 三、由状态方程求系统函数 三、由状态方程求系统函数 三、由状态方程求系统函数 三、由状态方程求系统函数 三、由状态方程求系统函数 三、由状态方程求系统函数 用卷积表示有 即 第 i 个响应是所有激励信号作用得到响应的叠加，即 【例6－11】已知系统的状态方程和输出方程，求该系统的系统函数矩阵。 【解】首先求 【例6－11解】所以有 【例6－12】已知系统的状态方程和输出方程，求描述该系统输入输出关系的微分方程和系统函数。 【解】这时一个三阶系统，为避免三阶矩阵求逆，展开各个式子并求拉普拉斯变换得 通过消元法容易求得 所以系统函数为 所以描述系统的微分方程为 信号与系统 * 信号与系统 * 给定起始状态的系统方程为 求拉普拉斯变换有 第一项对应系统状态变量的零输入解， 第二项对应系统状态变量的零状态解部分 求拉普拉斯反变换就得到状态变量的时间表达式 对输出方程求拉普拉斯变换 第一项对应系统的零输入响应， 第二项对应系统的零状态响应 求拉普拉斯反变换就得到系统的完全响应 代入状态变量的拉普拉斯变换有 定义矩阵 称为分解矩阵。 系统函数矩阵 如果是多输入多输出系统，则系统函数为一矩阵，即 系统函数矩阵中某一元素的含义如下 用拉普拉斯变换法求解状态方程要用到矩阵求逆，一般比较复杂，对二阶矩阵求逆有下面公式。 例: 已知连续系统的状态方程、输出方程、输入信号和起始状态，求该系统的状态变量和输出信号。 解: 由已知条件得 所以有 进行拉普拉斯反变换得状态变量解为 代入输出方程得输出信号 矩阵指数函数 定义为 A 是一个 n x n 的方阵，则 也是一个 n x n 的方阵 的主要性质有 若已知 方程两边左乘 并移项得 化简得 积分得 整理得 零输入解 零状态解 求解状态方程和输出方程 下面是两个矩阵卷积的定义 将状态变量解代入输出方程得 矩阵 在时域法求解状态方程中有很重要的意义，它称为状态转移矩阵。而它的拉普拉斯变换 称为特征矩阵或分解矩阵。 对照拉普拉斯变换法求解状态方程的结论，知道 和 是一拉普拉斯变换对，即有 【例7-3-1】已知系统的状态方程和输出方程分别为 系统输入为单位阶跃信号，初始状态 试求矩阵指数函数 、状态变量 与输出 。 解：系统的参量矩阵分别为 ， ， 所以 拉氏反变换为 拉氏反变换为 作业 13-06-29 P265 7-6 (2) P266 7-8 矩阵 除了可以利用它的拉普拉斯变换求解外，还可以用矩阵的相似变换法或将矩阵化为有限项之和求解。 以下是课外的内容，供了解。 Hamilton-Cayley 定理：设矩阵 A 是一个 n x n 的方阵，它的特征多项式为 根据Hamilton-Cayley 定理，可以将矩阵指数函数化为有限项之和的形式，即有 式中各系数 都是时间 t 的函数， 可以利用Hamilton-Cayley 定理求出， 则有 （1） 矩阵 A 的特征值各不相同。 设 根据此方程，可以求出各系数 则有 将 代入 （2） 矩阵 A 的特征值有重根。设 是m重根 对应 有m个方程 对于其它的非重根，处理方法和前面(1)一样，总共得到n个方程。 这样可以求得各系数 其中： 特征根为 例： 给定矩阵 A， 求矩阵指数函数 解： 矩阵 A 的特征多项式为 因为矩阵 A 为二阶，所以有 解得 根据矩阵 A 的特征根为单根有 所以得 例： 给定矩阵 A。求矩阵指数函数 特征根为