n一般函数y=fx.ppt

定义1 设 f (x)在(a, +?)内有定义, A 为常数. 若 x 0且无限增大时, f (x)的值无限接近A, 则称 A 为函数 f (x)当 x ? +?时的极限. 记为 或 f (x) ? A (当x ? +?时) 定义1 设 f (x)在(a, +?)内有定义, A 为常数. ?? 0, 若?X 0, 当 x X 时, 恒有 | f (x) ?A|? 则称 A 为 f (x) 在x ? +?时的极限. 记为 或 f (x) ? A (当x ? +?时) 例子1 “ 一尺之棰日取其半, 万世不竭 ” 每天得到的剩余量按次序排列起来是一列有序的数. 第一节 数列的极限 无论天数n多么大, 只要n取定了, 棒总有剩余量, 但是“日取其半”无限地进行下去(n无限增大), 这就是说: 例子2. 求半径为 R 的圆周长 l o R 易见, 多边形的周长Pn 随着边数n不断增加而逐渐接近圆周长 l . 但是, 无论边数再多, 内接正多边形的周长也不等于圆周长. “边数n无限增大时, Pn无限接近 l .” 我们称 l 为Pn的极限. 一. 数列的概念 定义: 按某规则, 依 n = 1, 2, 3, ???的次序编了号的一串数: x1, x2, ???, xn , ???, 称为数列, 记为{xn}. 第n项xn称为数列的一般项或通项. 在几何上, 数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点 x1, x2, ???, xn , ???, 数列实际上是以正整数 n 为自变量的函数 xn = f (n) 称为整标函数. 例1. 详细地写出下面的数列, 并在数轴上表示出来. (1) 0 1 (2) 0 (3) { n3 }: 1, 8, 27, ???, n3 , ???. 0 1 8 27 (4) {(?1)n}: ?1, 1, ?1, 1, ???, (?1)n , ???. 0 1 ?1 定义 设数列{xn}, 当n无限增大时, 若xn无限接近于某个确定的常数A, 则称A为数列{xn}的极限. 或称数列{xn}收敛于A. 记作 或 xn ? A(当 n ? ?). 二. 数列的极限 易见, xn 与 A 接近程度用 | xn ? A |的大小来度量. 例如, 从下表观察: n |xn ? 1| ??? ??? 102 0.01 103 0.001 104 0.0001 105 0.00001 ??? ??? 只要n足够大, 就能使 |xn ? 1| 小于预先给定的无论多么小的正数. 定义: 设数列{ xn }, 常数A. ?? 0, 若?N(自然数), 使当n N 时, 恒有|xn ? A| ? 成立, 则称 A 是数列{ xn }的极限. 记为 的几何解释: 对于任给的正数? , 总存在一个自然数N, 使得从 N+1项起的所有项所对应的点 xn 都落在区间(A ? ? , A +? )内, 即在区间(A ? ? , A +? )外的只是x1, x2, ???, xn 所对应的有限个点, 其余的点则全部在(A ? ? , A +? )之内. 如图 x1 x2 xN xN+1 A xN+2 x3 A ? ? A +? 简言之, 数列{ xn }收敛于A, 就是对于任意给定的正数? , 总存在 N , 使从 xN+1开始, 后面所有的点都落在 A 的 ? 邻域内. 例1. 证: 因为 只要 例2. 证: 因为 例3. 证: 因为 只要 例4. 证: ?? 0 , 取 N = 1, 当 n N 时, 恒有 | xn ? C | = |C ? C | = 0 ? 1. 唯一性: 设数列{ xn }, 2. 有界性: 如果数列收敛, 那么这个数列一定有界. 三. 收敛数列的性质 证 : 设数列{ xn }, 据极限定义, 对于? =1, ?N, 使对于 n N的一切xn , 恒有 | xn ? A | 1成立. 于是, 当 n N时, | xn | = | xn ? A+A | ? | xn ? A| +| A | 1+| A | 取 M = { x1, x2, ???, xN, 1+ | A |}, 则对于所有项 xn , 必有 | xn | ? M. 故数列{ xn }有界. 证明 1) 练 习 第二节 函数的极限 整标函数 xn = f (n) 一般函数 y = f (x) 记号 “ x ? +?” 读作“x 趋于正无穷大”. “ x ? ??” 读作“x 趋于负无穷大”. “x ? ?”读作“x 趋于无穷大”. 例如, 0 y x