就是改进的欧拉法.PPT

* 第九章 常微分方程数值解 ? 考虑一阶常微分方程的初值问题 只要 f (x, y) 在[a, b] ? R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述问题存在唯一解。 要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1… xn= b 处的近似值 节点间距 为步长，通常采用等距节点， 即取 hi = h (常数)。 在这些节点上采用离散化方法，（通常用数值积分、微分、 泰勒展开等）将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。 把这个相应问题的解yn作为y(xn)的近似值。这样求得的yn就是 上述初值问题在节点xn上的数值解。一般说来，不同的离散化 导致不同的方法。 9.1 欧拉Euler 法与改进欧拉法 1.欧拉法： x0 x1 向前差商近似导数 记为 定义 　　　在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) ? yi+1 称为局部截断误差 定义 　　　若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度。 亦称为欧拉折线法 Ri 的主项 ? 欧拉法的局部截断误差： 欧拉法具有 1 阶精度。 例9.1 用欧拉法求初值问题 当h = 0.02时在区间[0, 0.10]上的数值解。 方程真解： n xn yn y(xn) ?n = y(xn) - yn 0 0 1.0000 1.0000 0 1 0.02 0.9820 0.9825 0.0005 2 0.04 0.9650 0.9660 0.0005 3 0.06 0.9489 0.9503 0.0014 4 0.08 0.9336 0.9354 0.0018 5 0.10 0.9192 0.923 0.0021 2．改进欧拉法 一阶方程的初值问题与积分方程 是等价的，当x = x1时， 借助于数值积分，求y(x1)的值 用矩形公式 用梯形公式 则有 改进欧拉法 在实际计算时，可将欧拉法与梯形法则相结合，计算公式为 应用改进欧拉法，如果序列 收敛，它的极限便 满足方程 3．公式的截断误差 二元泰勒公式： 设 z=f(x,y) 在点 的某一邻域内连续且直到有n+1阶 连续偏导数， 为此邻域内任一点，则有： 欧拉法的截断误差： 改进欧拉法的截断误差： 例 9.2 在区间[0, 1.5]上，取h = 0.1，求解。 本题的精确解为， 可用来检验近似解 的精确程度。计算结果如下表： ? xn ? 欧拉法yn 迭代一次 改进欧拉法yn 准确解 0 1 1 1 0.1 1.1 1.095909 1.095445 0.2 1.191818 1.184096 1.183216 0.3 1.277438 1.260201 1.264911 0.4 1.358213 1.343360 1.341641 0.5 1.435133 1.416102 1.414214 0.6 1.508966 1.482956 1.483240 0.7 1.580338 1.552515 1.549193 0.8 1.649783 1.616476 1.612452 0.9 1.717779 1.678168 1.673320 1.0 1.784770 1.737869 1.732051 1.1 1.85118 1.795822 1.788854 1.2 1.917464 1.852242 1.843909 1.3 1.984046 1.907323 1.897367 1.4 2.051404 1.961253 1.949359 1.5 2.120052 2.014207 2.000000 9.2 龙格 - 库塔法 建立高精度的单步递推格式。 单步递推法的基本思想是从 ( xi , yi ) 点出发，以某一斜率沿直线达到 ( xi+1 , yi+1 ) 点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。 ? 考察改进的欧拉法，可以将其改写为： 首先希望能确定系数 ?1、?2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在 的前提假设