常渭鑫-按步骤求解不定方程问题.docx

按步骤求解不定方程问题华图西安师资中心常渭鑫如果未知数的个数多于方程的个数，这类问题就叫做不定方程。在考试中，部分考生认为所有的不定方程组难度都非常高，从而直接放弃。实际上，对于不同类型的不定方程问题采用不同的方法技巧来求解并不是想象中那么难，在此，我们对其进行总结，希望对广大考生有所帮助。在判断出一道题目为不定方程组时，解该不定方程组的步骤为：一、设问为变量之间的关系的题目对于此类问题，直接使用“赋0法”求解不定方程组，具体步骤如下：赋某个变量的值为0，一般令系数最复杂的变量为0，因为这样的话接下来的方程求解简单一些；解二元一次方程组，可以求得具体的解，从而找到符合方程组的一组解；将该组解替换相应的变量值，代入到所求的关系中去，所得的答案便是正确选项。【例1】（2009年国家第112题）甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱（）A.10元 B.17元C.11元D.21元解：设签字笔、圆珠笔和铅笔的价格分别为x、y、z元，则由题意可知3个未知数2个方程，可知这是一个不定方程组，无法得出确定的解。但是我们发现题目所求的是“同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱”，即，也就是三变量间和的关系，因此我们可以使用“赋0法”进行求解。具体求解如下：令系数最复杂的变量为0，在此方程组中可设y=0，则方程组可化为：得到一组解为：x=11，y=0，z=-1。将该组解的变量值代入所求的关系中去，可得因此，本题的答案为10，选择A选项。【结论】由此题可以看出，若所求的是变量间某个关系的值时，只需求出任意一组解，然后代入该关系即可得出答案。赋0法中所得的数字可能会和实际生活中的意义有矛盾，但是只要能解题，这个可以不予考虑。【例2】（2007年江苏B类第80题）小张、小李、小王三人到商场购买办公用品，小张购买1个计算器，3个订书机，7包打印纸共需要316元，小李购买1个计算器，4个订书机，10包打印纸共需要362元。小王购买了1个计算器，1个订书机，1包打印纸共需要（）A.224元 B.242元 C.124元 D.142元解：设计算器、订书机和打印纸的价格分别为x、y、z元，则由题意可知3个未知数2个方程，可知这是一个不定方程组，无法得出确定的解。但是我们发现题目所求的是“小王购买了1个计算器，1个订书机，1包打印纸共需要多少钱”，即，也就是三变量间和的关系，因此我们可以使用“赋0法”进行求解。具体求解如下：令系数最复杂的变量为0，在此方程组中可设z=0，则方程组可化为：得到一组解为：x=178，y=46，z=0。将该组解的变量值代入所求的关系中去，可得因此，本题的答案为224，选择A选项。在2012年的国考中的第72题，题目没有并未问到变量间某个关系，而是问以下说法正确的是哪一项，选项共给出了四个关系，有些学员会感到无从下手。实际上，因为这道题目所问的仍是变量间的关系，所以依然可用“赋0法”求解出不定方程组的任意一组解，进而判断选项中所提供变量间关系是否正确。因为正确的关系在任意一组解中都是正确的，不正确的关系在任意一组解中都是不正确的。具体过程如下：【例3】（2012年国家第72题）三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投出了5票，并且每幅作品都有专家投票。如果三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投票的作品列为B等，仅有一位专家投票的作品列为C等。则下面说法正确的是：A. A等和B等共6幅B. B等和C等共7幅C. A最多有5幅D. A等比C等少5幅解：设A、B、C等作品的数量分别为A、B、C副，则由题意可知，共有1副作品，共得到的票数为15票，可得方程组如下：3个未知数2个方程，可知这是一个不定方程组，无法得出确定的解。而题目所问的并不是某个关系的值，而是让考生判断四个选项所给的变量间关系是否正确。因此，我们使用“赋0法”进行求解。具体求解如下：令A=0，然后求解二元一次方程组可得B=5，C=5。即求得原不定方程组的一组解为A=0，B=5，C=5。用此组解来判断各选项所给的变量间关系是否正确即可，具体如下：A选项认为“A等和B等共6幅”，但A+B=0+5=5，因此A选项不正确；B选项认为“B等和C等共7幅”，但B+C=5+5=10，因此B选项不正确；C选项认为“A最多有5幅”，若A为5副，则其共得15票，其余的画作不可能得到选票，与题目所给的“每幅作品都有投票”矛盾，因此C选项不正确；D选项认为“A等比C等少5幅”，由C-A=5-0=5可知，A等的确比C等少5幅，因此D选项是正确的。因此，本题选择D选