格状食饵捕食者系统中的震荡表现.docx

格状食饵捕食者系统中的震荡表现摘要：通过使用蒙特卡洛模拟法，我们研究了格状的食饵捕食者系统模型。我们的研究显示，在三维模型中，捕食者与被捕食者的数量呈现出一致的震荡周期，但是这种情况在低维度的模型中却没有出现。有限尺寸分析证明，即使处于热力学极限状态，这些震荡的振幅仍然是有限的。这是一个应用随机动力学的显微模型在无外界作用下体现震荡表现的例子。我们认为在我们模型中出现的震荡是由某种随机共振引起的。Ⅰ.介绍震荡表现在各种形式的众多物理学分支中都有所体现，但其在空间延展系统中仍然没有被充分的了解。作为同类型表现的一个例子，我们会想到确定的自身催化反应中的周期性震荡。从理论上看，主要的问题是无法避免的波动本应该彻底摧毁任何在这种系统中的一致的表现，因此也给独特的周期性震荡的存在带来了疑问。的确，对于一个确定的一维反应扩散模型的数学分析也成功的成为了在该种系统中承担强有力破坏性的角色。另一种此类的例子就是在食饵捕食者系统中的震荡表现，这也是数量动态学中的一个经典问题。最显而易见的一种观测此类震荡的方法就是通过观察野兔和猞猁的数量。对于此种系统中的震荡现象做出最早探究的是Lotka和Volterra。在他们的模型中，食饵和捕食者的数量可由下面的微分方程组描述出来……(1)x和y分别代表了食饵和捕食者的数量，a,b,c,d则是确定的正常数。对于模型(1)的简单分析确实可以证实极限环存在，换言之，食饵和捕食者的数量体现出周期性的震荡。然而，模型(1)有明显的不足之处。特别的，它预示着当捕食者数量为0的时候食饵将呈无限的指数型增长。为了弥补这一不足之处，这里必须将其他因素引入方程之中例如环境容纳量，类似于环境容纳量的因素通常能够破坏极限环的解，并且当t趋于无穷时我们可以得到不变的解。就这方面而言，模型(1)可能应该被更精确的称为不稳定结构。原则上，我们可以将上面方程的右侧替换为关于x和y的更复杂的函数，新得到的方程将体现出极限环并在y=0时依旧保持有限这一性质。然而，仍然不甚明确的是这些特定的函数是如何同数量的特征建立起联系的。最近，一个格状食饵捕食者系统被创建。它显示出，在稳定的条件下，这个模型将经历两个阶段：(i)活跃阶段，食饵和捕食者都处于活跃状态(ii)吸收阶段，捕食者灭绝，食饵占领了整个系统。对于变量进行确定值的控制，从而使得模型经历了一个定向转变的过渡阶段，这也是预期的性质，可以用来解释在模型动态变化中单一吸收阶段的存在性。对于这种格状模型，一个重要的特点就是可以通过控制变量法进行研究，举例来说就是区别于假设出方程的蒙特卡洛模拟法。此外，这样的一个微观模型可以用来解释在基于微分方程的模型中被完全忽略的震荡，方程(1)就是一个例子。这些波动就是模型中过渡阶段出现的原因，因此平均场近似值即等价于类似于方程组(1)的微分方程预示着活跃阶段对于控制变量的模型是普遍存在的，并且没有过渡状态出现。在现在的这篇论文中，我们检测了在上述格状模型中食饵和捕食者密度随时间的变化情况。我们或许可以得出由随机动态学引起的震荡导致了他们密度变化呈现随机性和互不关联性。确实，震荡表现是我们观察得到的，但这仅仅存在于一维的视角。在二维模型中，密度的变化依然呈现不相关性，但在关于X和y的傅里叶变化中却会出现一个明显的高峰，对于三维模型，非常规律性的周期震荡就可以得到明显观测了。我们认为这些震荡是由某种确定的随机共振引起的，我们采用了和确定的低维度的动态系统进行类比的方法。除了提供一个食饵捕食者系统的模型，我们的结果在某种程度上也有更为普遍的意义。在空间延展系统中，固有频率可能引起周期性共振的发生。这应该同标准的需要一些外在的周期性干扰的随机共振环境做比较。论文的编写如下。在第二部分我们介绍了模型，并且只简要的描述了它的稳定阶段的性质，在论文的其他部分我们还会加以详细的描述。在第三部分，我们提出了时间的变动和对于一维，二维，三维视角下模型中食饵和捕食者密度变化的光谱分析。第四部分包含了对食饵的密度作为时间的一个函数的标准差分析，同时我们也提出了一个同随机共振的关系。第五部分就是我们得出的结论。 II．模型和它的稳定阶段的性质在我们的模型中，格子的位置可以是空的，可以是一个食饵，可以是一个捕食者或者是一个食饵和一个捕食者。动态的变化过程可以被阐释如下：随机选择一个网格位置在所选位置出现食饵的概率为r。(如果随选格子中有生物的话，否则重新选)假设在所选格子的四周至少存在一个格子没有食饵，食饵便会繁衍一个后代并且出现在那个没有食饵的格子中。否则，食饵不会进行繁殖。在所选位置出现捕食者的概率为1-r.假设在所选格子的中没有食饵，捕食者便会因为饥饿而死。如果有食饵，捕食者便会存活并吃掉食饵。假设在所选格子的四周至少存在一个格子没有捕食者，捕食者便会繁衍一个后