闽江学院2010年量子力学期中试卷(正).doc

2009-2010 学年 闽江学院期中考试试卷 适用年级专业： 物理学 (师范类) 考试形式：开卷 考试课程： 量子力学 年级∶ 2007 专业 ∶ 物本 姓名∶ 学号∶ 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、填空 (30分) 得分 1. 用波函数 Ψ（r,t）来描述微观粒子的量子态。当Ψ（r,t）给定后，如果测量其位置，粒子出现在x点的几率密度为_____________. 2. 态的迭加原理. 如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是体系可能的状态，则它们的线性迭加态Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+ c3Ψ3…=∑ciΨi也是体系的一个可能状态。当体系处在迭加态Ψ时，体系部分处在Ψ1态、也部分处在Ψ2态，…等，即各有一定几率_____处在迭加之前的各个态Ψi。 3. 算符 本征方程. λ称为__________，一般有多个，甚至无穷 多个。 ψλ称为_________的、属于本征值为λ的___________,也有多个，甚至 无穷多个. 有时一个本征值对应多个不同的本征函数，这称为简并。若一个本征值对应的不同本征函数数目为N，则称____________。 4. 能量低于势垒高度的粒子有一定几率穿过势垒,这种现象称为____________. 5. 厄米算符的定义式为 ;厄米算符的三个基本性质：实数性，__________, __________________。 6. 力学量用厄米算符表示. 在________表象中,，原则上可以得出所有力学量算符 7. 坐标算符的本征态.设坐标算符的本征函数为，本征值为，则本征方程为 ____________ . 利用函数的性质可得 8. 在_______表象中,动量算符的本征方程 ,对应本征值的本征函数. 为具有确定动量的平面波函数，本征值组成连续谱，只能归一化为函数，故取归一化因子为， 归一化为 9. 任意状态下力学量的可能值.微观粒子处于力学量算符的本征态时，力学量与本征值有确定的对应。如果粒子不是出于的本征态而是处于任意态，如何理解任意态？厄米算符本征态的完备性已明确告诉我们，可用厄米算符的本征态的线性组合描述，即 这正是态叠加原理的具体表现。在态中对力学量进行测量时，得到的可能值是，也可能是，……，而决不会是本征值之外的其它值。将归一化 联系起来看，表示任意态处于本征态的概率（或者说本征态在任意态中所占的概率）。若从力学量的角度看，是在态中测量力学量得到可能值的概率（或说力学量的值在态中被测到的概率）。而 为体系处于任意态时力学量的概率分布函数。综上所述，当体系处于任意态时，测量力学量所得的数值，将会出现各种不同的结果，但必定是算符的________之一，测得力学量的值为的概率为________。 10. 力学量完全集.有些情况下，力学量的本征值是全部简并或部分简并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以，只以的本征值不足以完全确定本征函数，这时必定存在和独立且和对易的其它力学量。如果的共同的本征函数仍然有简并，则必定还存在独立于而又和______的其它力学量. 的共同的本征函数是否还有简并？ 我们定义： 一组相互对易而又相互独立的力学量算符，如果它们的共同的本征函数是非简并的，即这组本征值完全确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集。完全集中力学量的数目一般称为体系的________。（注意：完全集中力学量的数目一般体系的自由度） 二、计算题（15分） 得分 一粒子在一维势场 中运动，其中，求束缚态能级所满足的方程。 三、试证明（35分）: 得分 (1) 两力学量算符,在任意状态下力学量满足测不测关系: (2) , ，并分别说明物理意义。 （3）在动量表象中 ， 这里: , , 。 ( 提示 : 利用 ) 四、计算题（20分） 得分 在正交归一化基矢所张的三维矢量空间中时的态矢。而物理体系的能量算符和另外两个物理量算符与的矩阵形式为 ， ， 均为实数，求 所采用的是什么表象？基矢是什么？ 表象中波函数（态矢）的表示； 态的能量可能值及相应概率、、=？ 态中算符、的可能值及相应概率。 2010年5月17日 共 页 第7页