浅谈黎卡提方程及求解.doc

编号 090901228 毕业论文 （ 2013 届本科） 题 目： 浅谈黎卡提的求解 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 作者姓名： 吴大婷 指导教师： 张飞羽 职称： 教授 完成日期： 2013 年 5 月 30 日 二○一三年四月 浅谈黎卡提方程的求解 吴大婷 指导老师:张飞羽 (河西学院数学与应用数学专业2013届2班28号, 甘肃张掖 734000) 摘 要 著名的黎卡提方程是一个部分可积的非线性常微分方程,本文给出了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件,使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解,并给出一些特殊类型黎卡提方程的通解表示.此外,本文还提出了黎卡提方程的另一种解法,即将它转化为二阶齐次性微分方程,再根据朗斯基定理,得出其通解. 关键词 黎卡提方程;初等积分法;分离变量;伯努利方程;朗斯基; 中图分类号 O175.14 The Solution of Riccati Equation Wu Dating Instructor Zhang Feiyu （No. 28, Class 2 of 2013, Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Hexi University,Zhangye,Gansu,734000） AbstractThe Riccati equation is a partly interglacial differential equation. In this paper some sufficient conditions are given that elementary integration as well as the representatives of general solutions for several Riccati equations. We also puts forward another solution for Riccati equations which turns it into two order homogeneous linear differential equation, then gets the general answer of Riccati equation basics on the Wronsky theorem. Keywords: Riccati equation; Elementary integral; Separable variable; Bernoulli equation; Wronsky 黎卡提方程是一类不可用初等方法求解的微分方程,它有着重要应用.例如,它曾用于证明贝塞尔方程的解不是初等函数.另外,它也出现在现代控制论和向量场分支理论的一些问题中.黎卡提方程的研究既有着显而易见的理论和实际意义,又有着广阔的研究前景.由于黎卡提方程在理论上和应用上的重要性,一直有人寻求它的可积类型及可积方程.我们知道,黎卡提方程一般情况下不能用初等积分法求解,但在一些特殊情况下却有初等解法,那么,在哪些情况下黎卡提方程有初等解法呢?本文给出一些充分条件使得黎卡提方程可用初等积分法求解. 1 黎卡提方程可积的充分条件 黎卡提方程是形如 （1.1） 方程,其中在区间上连续,而且.这里给出它可积的一些充分条件,使得黎卡提方程(1.1)在满足一定条件下可以用初等解法求解. 定理1.1 设已知黎卡提方程(1.1)的一个特解则可用积分法求得它的通解. 证明 对方程(1.1)做变换其中是新的未知函数.代入方程(1.1),得到 由于是方程(1.1)的解,从上式消去相关项以后就有 (1.2) 这是一个伯努利方程.因此,此方程可以用初等积分法求出通解. 定理1.2 若则黎卡提方程(1.1)可积. 证明 由于,则黎卡提方程(1.1)可化为 (1.3) 作变换,则 代入(1.3)式中即为 整理得 这是变量可分离方程,从而此时方程可积. 定理1.3 若,则黎卡提方程(1.1)可积. 证明 由于,则黎卡提方程(1.1)可化为 (1.4) 作变换 则 代入(1.4)式中即为 整理得 这是变量可分离方程,从而此时方程可积. 定理1.4 两类特殊黎卡提方程:和:可相互转换,当及为零或正整数时,这两类特殊黎卡提可经有限次变换解出. 证明 方程:令可化为 整理得 此为方程:的形式.反之,方程可通过,则化为此方程为