概率论与数理统计习题 三解析【哈工大版】.doc

习 题 三 1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为，若以表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求的分布列。 解 表示事件：前次出现正面，第次出现反面，或前次出现反面，第次出现正面，所以 2．袋中有个黑球个白球，从袋中任意取出个球，求个球中黑球个数的分布列。 解 从个球中任取个球共有种取法，个球中有个黑球的取法有，所以的分布列为 ，， 此乃因为，如果，则个球中可以全是白球，没有黑球，即；如果则个球中至少有个黑球，此时应从开始。 3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第个零件是不合格品的概率，以表示三个零件中合格品的个数，求的分布列。 解 设‘第个零件是合格品’。则 ， ， ， . 即的分布列为 . 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为，以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求的概率分布。 解 (第一个路口即为红灯), (第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)， 依此类推，得的分布列为 . 5．将一枚硬币连掷次，以表示这次中出现正面的次数，求的分布列。 解 为重贝努里试验中成功出现的次数，故，的分布列为 6．一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有8次呼叫的概率；（2）每分钟的呼叫次数大于10的概率。 解 设为每分钟接到的呼叫次数，则 （1） （2） 7．某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初至少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上。 解 设为该商品的销售量，为库存量，由题意 即 查泊松分布表知，故月初要库存14件以上，才能保证当月不脱销的概率在0.99977以上。 8．已知离散型随机变量的分布列为：，，试写出的分布函数。 解 的分布列为 所以的分布函数为 9．设随机变量的概率密度为 求：（1）常数；（2）使成立的. 解 （1），； （2）， 可见 ， 。 10．设随机变量的分布函数为 ，， 求：（1）系数与；（2）；（3）的概率密度。 解 （1）由分布函数的性质 于是 ，，所以的分布函数为 ， （2）； （3）的概率密度为 ， . 11．已知随机变量的概率密度为 ，. 求的分布函数. 解 12．设随机变量的概率密度为 求的分布函数. 解 的图形为 的分布函数为 13 13．设电子管寿命的概率密度为 若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初150小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率；（2）在使用的最初150小时内烧坏的电子管数的分布列；（3）的分布函数。 解 为在使用的最初150小时内烧坏的电子管数，，其中 ， （1）所求概率为 ； （2）的分布列为， 即 . （3）的分布函数为 14．设随机变量的概率密度为 现对进行次独立重复观测，以表示观测值不大于0.1的观测次数，试求随机变量的概率分布。 解 ，其中 ， 所以的概率分布列为 . 15．设随机变量，求方程有实根的概率. 解 设‘方程有实根’，则 发生 即 ，因，所以 发生 所以 . 1