高三数学一轮复习 函数与导数(解析版).doc

数 学 B单元 函数与导数 B1　函数及其表示 14．、[2014·安徽卷] 若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则＋f＝______．　[解析] 由题易知f＋f＝＋＝－f－f＝－＋＝、[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)＝－x＝x＝＝|x|　[解析] 由定义域为R，排除选项，由函数单调递A，D、、[2014·江西卷] 将连续正整数1，2，…，n(n∈N)从小到大排列构成一个数，(n)为这个数的位数(如n＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．(1)求p(100)；(2)当n≤2014时，求F(n)的表达式；(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)＝f(n)－g(n)，＝{n|h(n)＝1，，n∈N，求当n∈S时(n)的最大值．解：(1)当n＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100)＝(2)F(n)＝(3)当n＝b(1≤b≤9，b∈N)，g(n)＝0；当n＝10k＋b(1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N，b∈N)时，g(n)＝k；当n＝100时，g(n)＝11，即g(n)＝1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N，b∈N，同理有f(n)＝ 由h(n)＝f(n)－g(n)＝1，可知n＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以当n≤100时，S＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}．当n＝9时，p(9)＝0.当n＝90时，p(90)＝＝＝当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N)时，p(n)＝＝＝，由y＝关于k单调递增，故当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N)时，p(n)的最大值为p(89)＝又，所以当n∈S时，p(n)的最大值为[2014·山东卷] 函数f(x)＝的定义域为(　　)(0，2) ．(0，2] (2，＋∞) ．[2，＋∞)　[解析] 若函数f(x)有意义，则－1＞0，∴＞1，∴x＞2. [2014·全国卷] 函数y＝(＋1)(x＞－1)的反函数是(　　)＝(1－)3(x＞－1)＝(－1)(x＞－1)＝(1－)3(x∈R) D．y＝(－1)(x∈R) 5．D　[解析] 因为y＝(＋1)，所以x＝(－1)因为x－1，所以y∈R，所以函数y＝(＋1)(x－1)的反函数是y＝(－1)(x∈R)．、[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)＝－x＝x＝＝|x|　[解析] 由定义域为R，排除选项，由函数单调递A，D、[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是(　　)f(x)＝ B．f(x)＝x＋1(x)＝x(x)＝2－x　[解析] 由偶函数的定义，可以排除，，又根据单调性，可得不对．、、、[2014·江苏卷] 已知函数f(x)＝＋－x，其中是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R上的偶函数．(2)若关于x的不等式mf(x)≤－x ＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．(3)已知正数a满足：存在x[1，＋∞)，f(x0)a(－x＋3x)成立．试比较－1与a－1的大小，并证明你的结论．解： (1)证明：因为对任意 x∈R，都有f(－x)＝－x＋－(－x)＝－x＋＝f(x)，所以f(x)是R上的偶函数．(2)由条件知 m(＋x－1)≤－x－1在(0，＋∞)上恒成立．令 t＝(x0)，则 t1，所以 m≤－＝－对任意 t1成立．因为t－1＋＋ 1≥2 ＋1＝3, 所以 －－，当且仅当 t＝2, 即x ＝ 因此实数 m 的取值范围是(3)令函数 g(x)＝＋－ a(－x＋3x)，则(x) ＝－＋3a(x－1)．当 x≥1时，－，x－1≥0.又a0，故 (x)0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数 因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是 g(1)＝ ＋－1－2a由于存在x[1，＋∞)，使＋－x－a(－x＋ 3x)0 成立， 当且仅当最小值g(1)0，故 ＋－1－2a0, 即 a令函数h(x) ＝ x －(－1)－1，则 h′(x)＝1－令 h′(x)＝0, 得x＝－1.当x∈(0，－1)时，h′(x)0，故h(x)是(0，－1)上的单调递减函数；当x∈(－1，＋∞)时，h′(x)0，故h(x)是(－1，＋∞)上的单调递增函数．所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(－1)．注意到h(1)＝h()＝0，所以当x∈(1，－1)(0，－1)时，h(－1)≤