人教版八年级上册15.2.1平方差公式.doc

平方差公式 数学（人教版）八年级上第十五章第二节 教材分析：本节课是人教版八年级数学（上）第十五章《整式的乘除与因式分解》中第二节“乘法公式”里的第一课时。平方差公式在整式乘法，因式分解，分式运算及其它代数式的变形中起着十分重要的作用，因此，它是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容，也是让学生感受数学的再创造的好素材。 教学目标： 知识与技能：掌握平方差公式的结构特征，会判断两个二项式相乘能否使用平方差公式；会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算。 过程与方法：经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；在动手操作、合作交流中了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法。 情感态度与价值观：发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣，创设研究式与合作交流的学习气氛。 教学重点：探索平方差公式的过程，会用平方差公式进行运算。 教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义。 教学过程： 一、创设情境，引入课题 问题：圣诞老人去市场买了单价是9.8元／千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，圣诞老人就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相同。售货员惊讶地问：“你怎么算得这么快?”圣诞老人说：“我只是利用了一个数学公式。”你知道圣诞老人用了一个什么样的公式吗？ 揭示课题：平方差公式 【设计意图】通过设计一段售货员与圣诞老人的对话，不仅吸引了学生的注意力，也激发了学生对数学的好奇心，为下面迫切想学习平方差公式起了一个好头，从而变“要我学”为“我要学”。 二、合作交流，探究新知 1. 已知三个二项式：①x+1，②x-1，③1-x，请挑选其中两个相乘，要求积为两项的。 2. 仔细观察，当这两个二项式具备什么样特征时，积才会是两项的呢？ 发现：左边是两个数的和与这两个数的差的积。 3. 根据自己发现的规律，举一个例子进行验证。 4. 为什么具备这个特点的两个二项式相乘，积才会是两项的呢？ 引导学生发现，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，所以就剩下两项了。 5. 具备这个特点的两个二项式相乘，它们的积有什么特征？ 发现：右边是这两个数的平方差。 6. 如果把这两个数分别记为a和b，那么我们能用符号语言来表示这个规律吗？ （a-b）(a+b)=a2-b2 这个式子很简洁，很美，像这种特殊形式的两个二项式相乘，我们可以把它写成公式，以后遇到类似的多项式相乘，我们就可以直接运用它进行计算。我们把这个公式叫做乘法的平方差公式。 7. 如何用文字语言来描述它呢？ 学生尝试着描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 归纳出公式的结构特征：左边是两个数的和与这两个数的差的积；右边是这两个数的平方差。 指出公式中a，b的含义非常广泛，它可以代表常数，也可以代表式子。 【设计意图】通过为学生构建一个开放的学习环境，比如，给出三个二项式，让学生自己去选择。再通过计算、观察、发现、猜想、证明、归纳等活动，使学生在领悟数学本质的同时，真正经历了知识的发生、发展过程，让学生充分感受到学习数学是愉快的，是充满着创造的。 8、利用图形的面积来解释平方差公式。（让学生动手操作，利用多种方法得出结论。） (a+b)(a-b) = a2-b2 像这样，利用图形的面积来解释平方差公式的方法正体现了我们研究数学的一种重要的思想方法：数形结合思想。 【设计意图】利用多种方法，让学生用图形的面积相等来解释平方差公式，一来可以对学生感受数学文化，二来也渗透了研究数学的重要方法：数形结合思想，同时也培养学生多角度思考问题，解决问题的习惯。 三、应用新知，练习反馈 1. 判断下列式子是否可用平方差公式。 (1)（x+2)(x-2) (2)(2m+n)(n-2m) (3)(-x-1)(1-x) (4)(-x+y)(x-y) 2. 例：运用平方差公式计算：（3x+2）（3x-2） 变式一：（3x+2）（2-3x） 变式二：（-3x+2）（-3x-2） 变式三：（-3x-2）（3x-2） 其中对变式三，可根据学生实际，用两种方法进行说明。 另外，让学生自己发现运用平方差公式时要注意些什么？ （1）要符合公式结构特征才能运用平方差公式； （2）有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形。 3. 开放题：（x-1）（ ），添上适当的代数式，可以运用平方差公式进行计算。 4. 解决引课中的问题：（1）9.8×10.2 （2）47×53 5. （1）为迎接圣诞节，路桥街道对一块边长为a米的正方形草坪进行改造，第一种方案：南北方向加长2米，而东西方向缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？ （2）第二种方案：南北方向加长2米，东西方向缩短4米，则改造后