递推数列及多种解题方法.doc

递推数列题型归纳解析 郭玉竹整理 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解．特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈．本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助． 类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解． 例:已知数列满足，，求． 解：由条件知：， 分别令，代入上式得个等式累加之， 即 所以， ，． 变式:已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,……. （I）求a3, a5； （II）求{ an}的通项公式. 解：， ， 即 ，，…… ，， …… 将以上k个式子相加，得 将代入，得， ． 经检验也适合， ． 类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解． 例:已知数列满足，，求． 解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又，． 例:已知， ，求． 解： ． 变式:已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项 解：由已知，得， 用此式减去已知式，得 当时，，即，又， ， 将以上n个式子相乘，得． 类型3 （其中p，q均为常数，）． 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为： ，其中，再利用换元法转化为等比数列求解． 例:已知数列中，，，求. 解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以. 变式:　在数列中，若， 则该数列的通项_______．　　　（key:）． 变式:已知数列满足 （I）求数列的通项公式；（II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：（I）解： 是以为首项，2为公比的等比数列 即　 （II）证法一： 　①　② ②－①，得即 　 ③－④，得　即　 是等差数列 证法二：同证法一，得　 令得 设下面用数学归纳法证明　 （1）当时，等式成立（2）假设当时，那么 这就是说，当时，等式也成立 根据（1）和（2），可知对任何都成立 是等差数列 （III）证明： 变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异． 类型4 （其中p，q均为常数，）． （或,其中p，q, r均为常数） ． 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决． 例:已知数列中，,，求． 解：在两边乘以得： 令，则,解之得：所以 变式:设数列的前项的和， （Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：． 解：（I）当时，； 当时，，即，利用（其中p，q均为常数，）．（或,其中p，q, r均为常数）的方法，解之得：． (Ⅱ)将代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2) = ×(2n+1－1)(2n－1)． Tn= = × = ×( － )， 所以, = － ) = ×( － ) ． 类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）． 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足． 解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根， 当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）； 当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）． 例:数列：， ，求数列的通项公式． 解法一（待定系数——迭加法） 由，得，且． 则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，，， ．把以上各式相加，得 ． ． 解法二（特征根法）：数列：， 的特征方程是：。,． 又由，于是故． 例:已知数列中，,,，求． 解：由可转化为 即或 这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即， 又，所以． 变式:已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列 （I）证明： 是以为首项，2为公比的等比数列 （II）解：由（I）得 （III）证明： 　①② ②－①，得即　③　　④ ④－③，得即是等差数列与的关系式。(或) 解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。 例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式. 解：（1）由得：． 于是，所以. （2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以． 变式:已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比