主理想整环与欧几里得整环.ppt

目录 后页 返回 * 前页 定理4.4.3 定理4.4.1 定理4.4.2 例4 §4.4 主理想整环与欧几里得整环 一、主理想整环 定义4.4.1 定义4.4.2 ---欧几里得整环 例1 例2 二、欧几里得整环 例5 定理4.4.4 ---最大公因子的存在表示定理 例6 三、欧几里德整环、主理想整环及惟一分解整环的关系 定理4.4.5 例3 四、整环的辗转相除法 一、主理想整环的定义及性质 我们知道, 在整数环中, 如果 , 则存在 , 使 即在整数环中, 任何两个元素的最大公因子可表示为 与 的一个线性组合. 如果我们把这一条性质加以推 广, 就得到下面的定义: 定义4.4.1 设 为整环, 如果 的每一个理想都 是主理想, 则称 为主理想整环( principal ideal domain), 记作: PID. 例1 整数环 是主理想整环. 例2 在 中, 不是主理想. 证 首先, 所以 . 另一方面, 如果存在 , 使 . 则在 中, 有 且 . 由 知, . 于是 . 又 , 所以 . 从而 与前一结论矛盾, 所以 不是主理想. 由例2知, 不是主理想整环. 下一节将证明 是惟一分解整环. 这说明, 惟一分解整环不一定是 主理想整环. 但我们却可以证明: 定理4.4.1 每一个主理想整环都是惟一分解整环. 为了证明这个定理, 我们先给出主理想整环的几 个性质. 定理4.4.2 设 为主理想整环, 则 上每一个真因 子链都有限. 证 设 (4.4.1) 为 的一个真因子链. 则有 令 则 为 的理想. 因为 是主理想整环, 所以 是主理想. 设 , 则 , 因此必有 , 使 , 从而 . 另一方面, , 所以 从而 由此知, 真因子链(4.4.1)仅有 项. ? 定理4.4.3 设 为主理想整环, 是 的一个非 零非单位的元素. 则下列条件等价: ? (1) 是素元; (2) 是不可约元; (3) 是极大理想; (4) 是素理想. 证 (1) (2) 见定理 4.3.3。 (2) (3) 因为 不是单位, 所以 为 的真理想. 设 . 又因为 是主理想整环, 所以存在 , 使 . 于是 . 则存在 , 使 . 因 不可约, 所以 中至少有一个为单位. 而 , 所以 , 从而 为单位. 由此得 . 所以 极大. (3) (4) 见第三章定理3.4.3. (4) (1) 设 , 则 , 因 为素理想,故 必有 或 , 即有 或 . 所以 为素元 定理4.4.1的证明: 由定理4.4.2, 主理想整环的每一个真因子链都 有限. 又由定理4.4.3, 主理想整环的每一个不可约元 都是素元. 从而由定理4.3.7知, 主理想整环是惟一分 解整环. 二、欧几里德整环的定义及性质 我们知道, 在惟一分解整环中, 任意两个元素 都有最大公因子. 为了应用标准分解式求得它们的最 大公因子, 我们必须首先将这两个元素因式分解. 但 即使在整数环中, 因式分解也不是一件轻而易举的事 情. 所以希望通过因式分解来了解它们的最大公因子 是不现实的. 但在主理想整环中, 我们却可以象在整 数环中那样, 把 的最大公因子表示为它们的一个线 性组合. 定理4.4.4(最大公因子的存在表示定理) 设 为 主理想整环. 则对任意的 , 存在 ,使 证 令 , 则 , 从而存在 , 使 (1) 因 , 所以 , 即 是 的一个公因子. (2) 设 为 的任一公因子, 则 , 从而 .所以 为 的