抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析.doc

抛物线及其性质 【考纲说明】 【知识梳理】 【经典例题】 1）抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章. 【例1】P为抛物线上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ） 相交 相切 相离 位置由P确定 【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是 .作PH⊥于H，交y轴于Q，那么， 且.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的 中位线，.故以 PF为直径的圆与y轴相切，选B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的. （2）焦点弦——常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的. 【例2】 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，求证： （1） （2） 【证明】（1）如图设抛物线的准线为，作 ， .两式相加即得： （2）当AB⊥x轴时，有 成立； 当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程： .化简得： ∵方程（1）之二根为x1，x2，∴. . 故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有成立. （3）切线——抛物线与函数有缘 有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功. 【例3】证明：过抛物线上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0） 【证明】对方程两边取导数： .由点斜式方程： y0y=p（x+x0） （4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获. 例如：1.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点 （ ） 显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2.抛物线的通径长为2p； 3.设抛物线过焦点的弦两端分别为，那么： 以下再举一例 【例4】设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点 【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明. 【】， 那么： 设抛物线的准线交x轴于C，那么 . 这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点. ● 通法 特法 妙法 （1）解析法——为对称问题解困排难 解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）. 【例5】（10.四川文科卷.10题）已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（） A.3 B.4 C.3 D.4 【分析】直线AB必与直线x+y=0x+y=0上，因得解法如下. 【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方程为：. 由 设方程（1）之两根为x1，x2，则. 设AB的中点为M（x0，y0），则.代入x+y=0：y0=.故有. 从而.直线AB的方程为：.方程（1）成为：.解得： ，从而，故得：A（-2，-1），B（1，2）.，选C. （2）几何法——为解析法添彩扬威 虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法. 【例6】（11.全国1卷.11题）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积（ ） A． B． C． D． 【解析】如图直线AF的斜率为时∠AFX=60°. △AFK为正三角形.设准线交x轴于M，则 且∠KFM=60°，∴.选C. 【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的 面积用公式计算. （2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单. （3）定义法——追本求真的简单一着 许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单. 【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线 的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线