抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析.doc

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抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析

抛物线及其性质 【考纲说明】 【知识梳理】 【经典例题】 1)抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种:到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美,又生出多少华丽的篇章. 【例1】P为抛物线上任一点,F为焦点,则以PF为直径的圆与y轴( ) 相交 相切 相离 位置由P确定 【解析】如图,抛物线的焦点为,准线是 .作PH⊥于H,交y轴于Q,那么, 且.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的 中位线,.故以 PF为直径的圆与y轴相切,选B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说,其结论则 分别是相离或相交的. (2)焦点弦——常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题,许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质,对破解这些试题是大有帮助的. 【例2】 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点,求证: (1) (2) 【证明】(1)如图设抛物线的准线为,作 , .两式相加即得: (2)当AB⊥x轴时,有 成立; 当AB与x轴不垂直时,设焦点弦AB的方程为:.代入抛物线方程: .化简得: ∵方程(1)之二根为x1,x2,∴. . 故不论弦AB与x轴是否垂直,恒有成立. (3)切线——抛物线与函数有缘 有关抛物线的许多试题,又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程,是解题者不可或缺的基本功. 【例3】证明:过抛物线上一点M(x0,y0)的切线方程是:y0y=p(x+x0) 【证明】对方程两边取导数: .由点斜式方程: y0y=p(x+x0) (4)定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现,却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们,在解题中常会有意想不到的收获. 例如:1.一动圆的圆心在抛物线上,且动圆恒与直线相切,则此动圆必过定点 ( ) 显然.本题是例1的翻版,该圆必过抛物线的焦点,选B. 2.抛物线的通径长为2p; 3.设抛物线过焦点的弦两端分别为,那么: 以下再举一例 【例4】设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1,证明:以A1B1为直径的圆必过一定点 【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径,那么A1B1=AB=2p,而A1B1与AB的距离为p,可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想:一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明. 【】, 那么: 设抛物线的准线交x轴于C,那么 . 这就说明:以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点. ● 通法 特法 妙法 (1)解析法——为对称问题解困排难 解析几何是用代数的方法去研究几何,所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题(如对称问题等). 【例5】(10.四川文科卷.10题)已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于() A.3 B.4 C.3 D.4 【分析】直线AB必与直线x+y=0x+y=0上,因得解法如下. 【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称,∴设直线AB的方程为:. 由 设方程(1)之两根为x1,x2,则. 设AB的中点为M(x0,y0),则.代入x+y=0:y0=.故有. 从而.直线AB的方程为:.方程(1)成为:.解得: ,从而,故得:A(-2,-1),B(1,2).,选C. (2)几何法——为解析法添彩扬威 虽然解析法使几何学得到长足的发展,但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算,这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状,人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法,其中最有成效的就是几何法. 【例6】(11.全国1卷.11题)抛物线的焦点为,准线为,经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点,,垂足为,则的面积( ) A. B. C. D. 【解析】如图直线AF的斜率为时∠AFX=60°. △AFK为正三角形.设准线交x轴于M,则 且∠KFM=60°,∴.选C. 【评注】(1)平面几何知识:边长为a的正三角形的 面积用公式计算. (2)本题如果用解析法,需先列方程组求点A的坐标,,再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难,但决没有如上的几何法简单. (3)定义法——追本求真的简单一着 许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真,用最原始的定义去做,反而特别简单. 【例7】(07.湖北卷.7题)双曲线 的左准线为,左焦点和右焦点分别为和;抛物线

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