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指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
一:考纲解读、有的放矢
理解有理数指数幂的含义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点。理解对数的概念及其运算性质。理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点。了解指数函数y=ax与对数函数互为反函数()。了解幂函数的概念。结合函数y=x,y=x2,y=x3,,的图象,了解它们的变化情况。指数函数、对数函数在高中数学中占有十分重要的地位,是高考重点考查的对象,热点是指数函数、对数函数的图象与性质的综合应用.同时考查分类讨论思想和数形结合思想;多以选择、填空题的形式出现,有时会与其他知识结合在知识交汇点处命题。
二: 核心梳理、茅塞顿开
(一)指数与指数函数
1.根式
(1)根式的概念
根式的概念 符号表示 备注 如果,那么叫做的次方根 当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数 零的次方根是零 当为偶数时,正数的次方根有两个,它们互为相反数 负数没有偶次方根
(2).两个重要公式
① ;
②(注意必须使有意义)。
2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:;
②正数的负分数指数幂:
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。
(2)有理数指数幂的性质
①aras=ar+s(a0,r、s∈Q);
②(ar)s=ars(a0,r、s∈Q);
③(ab)r=arbs(a0,b0,r∈Q);.
3.指数函数、指数函数的图象与性质
注:如图所示,是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3),y=cx(4),y=dx的图象,如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系?
提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1d11a1b1,∴cd1ab。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。
(二)对数与对数函数
1、对数的概念
(1)对数的定义
如果,那么数叫做以为底,的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数。
(2)几种常见对数
对数形式 特点 记法 一般对数 底数为 常用对数 底数为10 自然对数 底数为e 2、对数的性质与运算法则
(1)对数的性质():①,②,③,④。
(2)对数的重要公式:
①换底公式:;
②。
(3)对数的运算法则:
如果,那么①;②;③;④。
3、对数函数、及对数函数图象与性质
注:确定图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关系
提示:作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。
∴0cd1ab.
4、反函数
指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称。
(三)幂函数
1、幂函数的定义
形如y=xα(a∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数
注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。
2、幂函数的图象
注:在第一象限中如何确定y=x3,y=x2,y=x,,y=x-1方法:可画出x=x0;
当x01时,按交点的高低,从高到低依次为y=x3,y=x2, y=x,, y=x-1;
当0x01时,按交点的高低,从高到低依次为y=x-1, ,y=x, y=x2,y=x3 。
3、幂函数的性质
y=x y=x2 y=x3 y=x-1 定义域 R R R [0,) 值域 R [0,) R [0,) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0,)时,增;
x∈时,减 增 增 x∈(0,+)时,减;
x∈(-,0)时,减 定点 (1,1)
三:例题诠释,举一反三
知识点1:指数幂的化简与求值
例1.(2007育才A)
(1)计算:;
(2)化简:
变式:(2007执信A))
(2)
(3)
知识点2:指数函数的图象及应用
例2.(2009广附A)已知实数a、b满足等式,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
变式:(2010华附A)若直线与函数且的图象有两个公共点,则a的取值范围是_______.
知识点3:指数函数的性质
例3.(2010省实B)已知定义域为的函数是奇函数。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)判断函数的单调性;
(Ⅲ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.
变式:(2010东莞B)设a>0,f(x)=是R
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