推广的刘维尔定理和刘维尔方程.doc

 复 旦 学 报 (自然科学版) 第 38 卷 第 3 期 1999 年 6 月 V o l. 38 N o. 3 Jo u rn a l o f F u dan U n ive r s ity (N a tu ra l Sc ien ce) J u n. 1999 Ξ 推广的刘维尔定理和刘维尔方程3 陆全康 (复旦大学李政道物理学综合实验室) 摘 要 由推广的含 N 个原时的正则变换群导出推广的刘维尔定理和刘维尔方程, N 为粒子数. 关键词 分类号 推广的刘维尔定理; 推广的刘维尔方程; 正则变换群 O 53; O 414122 相对论统计力学分成广义相对论和狭义相对论统计力学, 前者适用于宇宙天体物理, 后者适用于等离 子体物理. 从 015×109 K 至 210×109 K 范围的等离子体, 由于动能大, 德布罗意波的波长短, 在相对稀薄 的等离子体体系, 经典相对论统计是适用的. 当温度更高时, 由于电子对出现, 量子效应和费米能应予考 虑. 当温度超过 107 K , 等离子体虽然不是完全相对论的, 但相对论修正必须考虑. 尤其考虑辐射效应时, 相对论理论是最好的处理方法. 随着惯性约束聚变和激光器功率的迅速增大, 相对论等离子体统计力学的重要性将日益显著. 文献1 建立了推广的哈密顿原理和正则变换群. 关于体系随时间的演化, 文献2 采用粒子流系综的 方法. 本文则与此不同, 我们仍采用粒子系综, 通过正则变换群来讨论体系随时间的演化. 文献 3 指出, 在关于狭义相对论统计力学, 只有少数文献采用完全明显的协变理论讨论. B a le scu 等 的系列工作先选择一个偏爱的时间 t 坐标, 以 Po in ca re′群作为物理空间的基础, 但相空间的演化虽然采用 正则变换, 但其形式不是明显协变的. 本文与此不同, 我们的相空间正则变换群采用 8N 维完全协变的形式分析讨论. 1 正则变换群的产生子 文献1 的 (61) 式给出 4 4 ∑P lΛdx lΛ - ∑P ′dx ′ = lΛ lΛ dG l (x l , x ′. l ) ( ) 1 Λ= 1 Λ= 1 它反映正则变换群 C 1 (x l , P l ) → (x ′, P ′. l ) ( ) 2 l , 4, 同理, P l 表示 (P lΛ) , x ′表示 (x lΛ ′) ′ ′) ′ 这里 x l 表示 (x lΛ) , Λ= 1, 式的产生子 (产生函数). (1) 式可以改写成 , P l 表示 (P lΛ . G l x l , x l ) 是正则变换群 (2) ( l ∑P lΛdx lΛ - d∑P ′lΛx ′lΛ + ∑x ′lΛdP ′lΛ = dG l (x l , x ′l ). (3) Λ Λ Λ 引入新的产生子 G~ l (x l , P ′ ≡ G l x l , x ′ + ∑P ′x ′. l ) ( l ) (4) lΛ lΛ Λ (3) 式化成 收稿日期: 1998206225 作者陆全康, 男, 1935 年生, 教授, 博士生导师; 复旦大学物理学系, 上海 200433 Ξ ∑P lΛdx lΛ + ∑x ′lΛdP ′lΛ = dG~l (x l , P ′. l ) ( ) 5 Λ Λ 由 (5) 式给出采用新产生子 G~ l 得到的正则变换群 C 1 的坐标变换关系为 5G~ l (x l , P ′ 5G~ l x l , P ′ l ) ( l ) (6) P lΛ = , x lΛ = . 5x 5P lΛ lΛ 2 推广的含 N 个原时 Σl 的刘维尔定理 文 献 1 , N . 指出, 我们采用每个粒子 l 有自己独立的原时 Σ1 来描述的系综, 即 x l = x l ( Σl ) , P l = P l (Σl ) , l = 1, 从正则坐标 (x l (Σl ) , P l (Σl ) ) 变换成新的正则坐标 x ′ Σl , P ′ Σl l ( ) l ( ) ) 的雅可比行列式为 5 x l1 ′ 5 x l4 ′ 5 P l1 ′ 5 P l4 ′ 5x l1 ǘ 5 x l1 ′ 5x l1 5x l1 5x l1 x ′ ′ ′ ′ 5(x l , P l ) l , P l (7) J l ≡ ≡ . 5(x l P l ) x P l l 5 x l4 ′ 5 P l1 ′ 5 P l4 ′ 5P l4 5P l4 5P l4 5P l4 根据雅可比行列式的性质 x ′