求线段比的多种方法(含答案解析).doc

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求线段比的多种方法(含答案解析)

求线段的比的方法 一、利用相似三角形求线段比 例题1、 如图,在正三角形ABC的边BC、CA上分别有点E、F,且满足BE=CF=,,当平分时,则的值为( ) 在题目现有的条件中,很难找到等量关系.于是由线段比我们联想到相似三角形的相似比,能否构造相似三角形,利用相似比建立等量关系.那么让我们来添加辅助线. 容易知道,题目中的点D是线段AE的中点.结合相似三角形的一些基本图形、基本知识,由中点自然想到三角形的中位线.于是过点D作EC的平行线交AC于点M,此时DM是的中位线.这时图中有两对相似三角形:,利用前一对相似三角形很容易得到,而在第二对相似三角形中,,代入相关数据整理得到,解得. 类似地,以为第三边构造相似三角形的中位线:过D作AC的平行线交EC于点M,同样出现两对相似三角形,思路同上. 另一方面,也可以构造以线段DF为中位线的三角形.方法:过点E作EM//DF交AC于点M. 这三种添加辅助线的方法共同点是:过某个点作某个线段的平行线,从而出现两对相似三角形,并且在某个三角形中含有中位线,具备特殊的数量关系. 猜想:是不是只要过某个顶点作某条线段的平行线,都可以解决这个问题? 考虑到做平行线后要出现两对相似三角形(全等是特殊的相似),而且能够充分利用题目条件表达出等量关系解决问题,经过筛选,最后得到如下作辅助线的方法(都是平行线). 方法1 方法2 方法3 方法4 方法5 方法6 方法7 方法8 方法9 说明:相对于前七种方法,方法八、九做起来更容易.因为通过构造全等三角形实现了已知长度的线段(AF或BE)的转移,而这条线段正好出现在相似三角形中,这就为表示相似比提供了方便. 总结:这九种方法实质上是体现了下面的基本图形、基本数量关系. 如图1,三角形ABC,点D是射线BA上的一个动点,过点D作DE//BC交射线CA于点E,则有: (1)即; (2)特殊地,若点D是AB的中点,则点E是AC的中点,即DE是三角形ABC的中位线, 此时有AD=DB,AE=EC,BC=2DE. (3)若点D在线段BA的延长线上,并且有DA=AB,此时. 基本图1 二、面积法 解:(面积法 ) 如图,连接CD. 由等比性质可得, 即 (1) 又 即 (2) 由(1)(2)可得: 整理得: 结合 解得 总结:这种面积法所包含的基本图形、基本数量如下. 如图基本图2,三角形ABC,点D是BC边上的一个动点,设BD=b,CD=c. 基本图2 则(1) (2)特殊地,当点D是BC的中点时,有. 练习题: 一.选择题(共3小题) 1.如图,△ABC中,D为BC中点,E为AD的中点,BE的延长线交AC于F,则为(  )   A. 1:5 B. 1:4 C. 1:3 D. 1:2   2.如图,已知△ABC,,,AD、BE交于F,则的值是(  )   A. B. C. D.   3.如图,△ABC中,E、D是BC边上的三等分点,F是AC的中点,BF交AD、AE于G、F,则BG:GH:HF等于(  )   A. 1:2:3 B. 3:5:2 C. 5:3:2 D. 5:3:1   二.填空题(共4小题) 4.如图,△ABC中,点D在BC上,点E在AD上,连结BE并延长,与边AC相交于点F,且,则= _________ .   5.已知点D,E,F分别在△ABC的三边BC,CA,AB上,G为BE与CF的交点,并且BD=DC=CA=AF,AE=EC=BF,那么的值等于 _________ .   6.如图,AD是BC边上的中线,F是AD上一点,CF的延长线交AB于点E,若,则= _________ ;若,则= _________ .   7.(2011?浙江模拟)如图,直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AD∥BC,BC=CD,E为梯形内一点,且∠BEC=90°,将△BEC绕C点旋转90°使B与D重合,得到△DCF,连EF交CD于M.已知BC=5,CF=3,则DM:MC的值为 _________ .   三.解答题(共23小题) 8.(2009?沈阳模拟)△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC的中点,把一个三

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