求线段比的多种方法(含答案解析).doc

求线段的比的方法 一、利用相似三角形求线段比 例题1、 如图，在正三角形ABC的边BC、CA上分别有点E、F，且满足BE=CF=,,当平分时，则的值为（ ） 在题目现有的条件中，很难找到等量关系.于是由线段比我们联想到相似三角形的相似比，能否构造相似三角形，利用相似比建立等量关系.那么让我们来添加辅助线. 容易知道，题目中的点D是线段AE的中点.结合相似三角形的一些基本图形、基本知识，由中点自然想到三角形的中位线.于是过点D作EC的平行线交AC于点M,此时DM是的中位线.这时图中有两对相似三角形：，利用前一对相似三角形很容易得到,而在第二对相似三角形中，，代入相关数据整理得到，解得. 类似地，以为第三边构造相似三角形的中位线：过D作AC的平行线交EC于点M,同样出现两对相似三角形，思路同上. 另一方面，也可以构造以线段DF为中位线的三角形.方法：过点E作EM//DF交AC于点M. 这三种添加辅助线的方法共同点是：过某个点作某个线段的平行线，从而出现两对相似三角形，并且在某个三角形中含有中位线，具备特殊的数量关系. 猜想：是不是只要过某个顶点作某条线段的平行线，都可以解决这个问题？ 考虑到做平行线后要出现两对相似三角形（全等是特殊的相似），而且能够充分利用题目条件表达出等量关系解决问题，经过筛选，最后得到如下作辅助线的方法（都是平行线）. 方法1 方法2 方法3 方法4 方法5 方法6 方法7 方法8 方法9 说明：相对于前七种方法，方法八、九做起来更容易.因为通过构造全等三角形实现了已知长度的线段（ＡＦ或ＢＥ）的转移，而这条线段正好出现在相似三角形中，这就为表示相似比提供了方便. 总结：这九种方法实质上是体现了下面的基本图形、基本数量关系. 如图１，三角形ABC，点D是射线BA上的一个动点，过点D作DE//BC交射线CA于点E,则有： （1）即； （2）特殊地，若点D是AB的中点，则点E是AC的中点，即DE是三角形ABC的中位线， 此时有AD=DB,AE=EC,BC=2DE. （3）若点D在线段BA的延长线上，并且有DA=AB,此时. 基本图1 二、面积法 解：（面积法 ） 如图，连接CD. 由等比性质可得， 即 （1） 又 即 （2） 由（1）（2）可得： 整理得： 结合 解得 总结：这种面积法所包含的基本图形、基本数量如下. 如图基本图2，三角形ABC，点D是BC边上的一个动点，设BD=b,CD=c. 基本图2 则（1） （2）特殊地，当点D是BC的中点时，有. 练习题： 一．选择题（共3小题） 1．如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为（　　） 　 A． 1：5 B． 1：4 C． 1：3 D． 1：2 　 2．如图，已知△ABC，，，AD、BE交于F，则的值是（　　） 　 A． B． C． D． 　 3．如图，△ABC中，E、D是BC边上的三等分点，F是AC的中点，BF交AD、AE于G、F，则BG：GH：HF等于（　　） 　 A． 1：2：3 B． 3：5：2 C． 5：3：2 D． 5：3：1 　 二．填空题（共4小题） 4．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AD上，连结BE并延长，与边AC相交于点F，且，则=　_________　． 　 5．已知点D，E，F分别在△ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD=DC=CA=AF，AE=EC=BF，那么的值等于　_________　． 　 6．如图，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若，则=　_________　；若，则=　_________　． 　 7．（2011?浙江模拟）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使B与D重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为　_________　． 　 三．解答题（共23小题） 8．（2009?沈阳模拟）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三