矩阵的合同,等价与相似.doc

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矩阵的合同,等价与相似

矩阵的合同,等价与相似 一、矩阵的合同,等价与相似的定义、性质及判定条件 (一)矩阵的等价: 1、定义:若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B,则称矩阵A与B等价,记为。 2、性质: (1)反身性:即. (2)对称性:若,则 (3)传递性:即若,,则 (4) 若为矩阵,且,则一定存在可逆矩阵(阶)和( 阶),使得.其中为阶单位矩阵. (5) 设是两矩阵,则当且仅当 3、判定: 矩阵等价的充要条件: 两个矩阵等价的充要条件为:存在可逆的阶矩阵与可逆的 阶矩阵,使 由矩阵的等价关系,可以得到矩阵与等价必须具备的两个条件: (1)矩阵与必为同型矩阵(不要求是方阵). (2)存在 阶可逆矩阵和阶可逆矩阵, 使得. (二)矩阵的合同: 1、定义: 两个n阶方阵A,B,若存在可逆矩阵P,使得成立,则称A,B合同,记作该过程成为合同变换。 2、性质: (1)反身性:任意矩阵都与自身合同. (2)对称性:如果与合同,那么也与合同. (3)传递性:如果与合同,又与合同,那么与合同. 因此矩阵的合同关系也是等价关系,而且由定义可以直接推得:合同矩阵的秩等. (4) 数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同. (5) 复数域上秩为的二次型,可以用适当的满秩线性变换化为标准形: 3、判定 定义2 设均为数域上的阶方阵,若存在数域上的阶可逆矩阵,使得,则称矩阵为合同矩阵(若数域上阶可逆矩阵为正交矩阵),由矩阵的合同关系,不难得出矩阵与合同必须同时具备的两个条件: (1) 矩阵与不仅为同型矩阵,而且是方阵. (2) 存在数域上的阶矩阵, (三)矩阵的相似 1、定义: n阶方阵A,B,若存在一个可逆矩阵P使得成立,则称矩阵A,B相似,记为。 2、性质: 性质3 (1)反身性 ; (2)对称性 由即得; (3)传递性 和即得 总之,合同是一种矩阵之间的等价关系,而且经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的. (4) (其中是任意常数); (5); (6)若与相似,则与相似(为正整数); (7) 相似矩阵有相同的秩,而且,如果为满秩矩阵,那么. 即满秩矩阵如果相似,那么它们的逆矩阵也相似. (8)相似的矩阵有相同的行列式; 因为如果,则有: (9)相似的矩阵或者都可逆,或者都不可逆;并且当它们可逆时,它们的逆矩阵相似; 设,若可逆,则从而可逆.且与相似. 若不可逆,则不可逆,即也不可逆. 下面这个性质是一个重要的结论,因此我们把它写成以下定理 定理4 相似矩阵的特征值相同. 推论3 相似矩阵有相同的迹. 3、判定: 设均为数域上阶方阵,若存在数域上阶可逆矩阵使得,则称矩阵与为相似矩阵(若级可逆矩阵为正交阵,则称与为正交相似矩阵) 由矩阵的相似关系,不难得到矩阵与相似,必须同时具备两个条件 (1) 矩阵与不仅为同型矩阵,而且是方阵 (2) 在数域上阶可逆矩阵,使得 二、矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (一)由以上三种矩阵间的关系的定义,可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件,但是这三种关系彼此间存在着密切的联系 1、相似矩阵必为等价矩阵,等价矩阵未必为相似矩阵. 证明: 设阶方阵相似,由定义3知存在阶可逆矩阵,使得,此时若记, ,则有,因此由定义1得到阶方阵等价 反过来,对于矩阵,等价,但是与并不相似,即等价矩阵未必相似. 2、 对于阶方阵,若存在阶可逆矩阵 使,(即与等价),且 (为阶单位矩阵),则与相似. 证明: 设对于阶方阵与,若存在阶可逆矩阵,使,即与等价.又知,若记 ,那么,也即,则矩阵也相似. 3、 合同矩阵必为等价矩阵,等价矩阵未必为合同矩阵. 证明: 设阶方阵合同,由定义2有,存在阶可逆矩阵,使得, 若记,,则有因此由定义1得到阶方阵等价 反过来对于矩阵,等价,但是与并不合同,即等价矩阵未必合同. 4、 正交相似矩阵必为合同矩阵,正交合同矩阵必为相似矩阵. 证明:若存在一个正交矩阵,即使得即,则有,即与合同. 同理,若存在一个正交矩阵,即使得即与合同,则有 由此可得 1.相似阵、合同阵必为等价阵,但过来必成立 2.相似阵为正交相似,合同阵为正交合同时,相似与合同一致. (二)但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系,如果两者都具有反身性、对称性和传递性,即两者都是等价关系.另外,在一定条件下,两者是等价的.若矩阵与正交相似,则它们既是相似也是合同的.对于相似与合同矩阵之等价条件有以下联系 1、 如果与都是阶实对称矩阵,且有相同的特征根.则与既相似又合同. 证明:设与的特征根均为因为与阶实对称矩阵,则一定存在一个阶正交矩阵 Q使得同理,一定能找

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