n阶对称循环矩阵的逆矩阵-台州学院.DOC

摘 要 介绍了循环矩阵，对称循环矩阵和特殊的二元循环对称矩阵的概念以及2n+1阶二元对称循环矩阵可逆的条件以及求逆矩阵的方法。在此基础上，通过猜想和推理给出了判断4n+2和6n+3阶二元对称循环矩阵可逆的条件以及求其逆矩阵的方法，并给出了证明。在证明的过程中得到了求逆矩阵的公式。在总结上述判断法则以及求逆方法的基础上，得到了一般的判断2(m+1)+m+1阶二元循环对称矩阵可逆的条件以及求逆矩阵的方法。 关键词 循环矩阵；对称循环矩阵；二元对称循环矩阵；逆矩阵 Abstract The concepts of the cyclic matrix, symmetric cycle matrix and special binary symmetric cyclic matrix are introduced. The conditions of a binary symmetric cycle matrix of the order 2n+1 having the inverse and the methods to calculate the inverses are presented. Then based on these, the conditions of a binary symmetric cycle matrices of the order 4n+2 and 6n+3 being invertible and the methods to solve the inverses are obtained by conjecture and reasoning, also are proved. Finally the conditions of a binary symmetric cyclic matrix of order 2(m+1)+(m+1) being invertible and the method to solve the inverse are developed. Key words Cyclic matrix; symmetric cyclic matrix; binary symmetric cyclic matrix; the inverse of matrix 目 录 1. 引言和相关概念介绍……………………………………………………………………...1 2. 2n+1阶对称循环矩阵的逆矩阵……………………………………………………………………2 3. 主要结论…………………………………………………………………………………………….....4 3.1 4n+2阶对称循环矩阵的逆矩阵……………………………………………….……………4 3.2 6n+3阶对称循环矩阵的逆矩阵…………………………………………………………….5 3.3 一般的2(m+1)n+(m+1)阶二元对称循环矩阵的可逆判定以及求逆方法………..7 参考文献……………………………………………………………………………….….….10 谢辞…………………..…………………………………………………………………….....11 特殊二元对称循环矩阵求逆 The inverses of the special binary symmetric cyclic matrices 数学与信息工程学院 数学与应用数学专业 林妮娜 指导教师：李毛亲 1．引言和相关概念介绍 循环矩阵是矩阵论中一类很重要的特殊矩阵，它在很多领域中得到了广泛应用， 因此人们对它做了大量研究，特别是对于特殊对称循环矩阵，本文根据已有文献的结论，给出一种特殊二元对称循环矩阵的求逆的方法。 定义1.1 如下形状的矩阵 称为循环矩阵，为方便，记为 . 定义1.2 如下形状的矩阵 称为对称循环矩阵，为方便，记为. 注：若对称循环矩阵中的只有两个不为零，则称A为二元对称循环矩阵。 2．2n+1阶对称循环矩阵的逆矩阵 本节将给出有关2n+1阶循环矩阵的逆矩阵存在的条件以及求解方法。 引理2.1 设可逆，则，其中是线性方程组的唯一解。 引理2.2 设, ,则, ,反复应用以上两式可得： ,其中. , 其中. 引理2.3 设,,则, ,反复应用以上两式可得： 其中. 其中. 定理2.1设2n+1阶对称循环矩阵，若，则A可逆, 且 . 证明：由detA易知当时A可逆，设，则 满足： 由(4)得： . 由(2)，(3)分别得: ,所以 由(1)得：， 所以 . 推论2.1设2n+1阶对称循环矩阵，若，则A可逆, 且 . 证明：因为，所以 推论2.2设2n+1阶对称循环矩阵，若，则A可逆,且当k=2L时， 证明：由引