TRML2010(缺思考赛)-方寸之地.PDF

個人賽 參考解答 寸絲 方寸之地 4 已知直線 L1 ∶ y = x +4 分別交 x 軸、y 軸於 A 、B 兩點。若 L2 ∶ x +by +c =0 為 ∠BAO 的角平分 3 線 ，其中 O 為原點，b、c 為整數，則 b +c =？答 1。 ⇀ 解解解 易得 A(−3, 0) B (0, 4)⇒AB =(3, 4)，因此角平分線方 ⇀ ⇀ ⇀ 向為 AB +AB AO =(3, 4)+(5, 0)=(8, 4)，又 L 過 ⇀ 2 AO A 點，故 L2 方程式為 x −2y +3 =0 ⇒b +c =1。 2 1 2 已知二次函數 f (x)=ax +bx +c 在 x = 時有最大值 4，且 ax +bx +c =0 的兩根為 α 、β 滿足 2 α+β =2，則 a =？答 −4。 1 2 1 −4 解解解 有最大值之條件得 f (x)=a(x − ) +4 且 a 0 ⇒f (x)=0 之兩根為 ± 。 2 2 a 若兩根皆正，則 α+β =α +β =1 不合。故兩根一正一負，2 =α+β =2−4 ⇒a =−4 。 a 某一正整數的每一位數字都是 1，若此數可被 33333 整除，則此數至少是幾位數？答 15。 解解解 33333 =3 ×11111，3 111. . . 11 ⇒1 的個數為 3 的倍數。 11111 111. . . .11 ⇒1 的個數為 5 的倍數。因此至少是 15 位數 個 1。 速食店的快樂兒童餐，每份餐都附一份玩具，共有四種不同的玩具，現在有 7 個人 ，每人都買了 1 份快 樂兒童餐。假設每種玩具出現的機率皆相同，試問每種玩具至少有一個的機率為何？答 525 。 1024 解解解 先對玩具數量分類 ，依出現次數排序有三種可能 (4, 1, 1, 1) (3, 2, 1, 1) (2, 2, 2, 1)。 1 (C4 7! 4 7! 4 7! 525 因此所求機率 P = 7 1 ⋅ +C2 ⋅2 ⋅ +C3 ⋅ )= 。 4 4!1!1!1! 3!2!1!1! 2!2!2!1! 1024 設 p 為滿足下列條件的質數：有一整係數多項式函數 f (x)使得 f (12)=2010，f (p )=1897。試求出所 有這種質數p 的和。 答 24。 解解解 由f (12)=2010 ⇒f (x)=(x −2)q (x)+2010，又 f (p )=1897 ⇒(p −12)q (12)=131 ⇒p −12 =±1 ±131 ⇒p =11 13 143 −119，其中僅 11 13 為質數，故所求 =11+13 =24。 如圖所示，△ABC 的內切圓分