一题代数竞赛题的几何看法-师大附中.DOC

一題代數競賽題的幾何看法 王啟光 國立灣師大附中 去年(九八)高中數學競賽高屏區複賽有一題是這樣的： 設函數定義為 求在區間上的最大值？ 參考解答是用代數方法先找到當x為有理數時的最大值為，再說明x為無理數時的函數值也都比要小，所以最大值是。 由於受到許志農老師文章的影響，我在看這個問題時，馬上想到的是把區間中的實數看成過原點的直線斜率，那麼就是看成如下的作用：如果x為無理數，斜率不變；如果x為有理數，變成點和點連線斜率(註一)。 令原點為O，，那麼區間即是介於直線OA和OB之間。又因為點在第一象限，而點C在原點下方，於是有理點在經過的作用後，其值變大，所以先找有理點的最大值。再來，因為A、B、C三點共線，而線段AB上有另一點滿足所有條件，於是。要說明這是有理點的最大值，只要說明ΔOAB中沒有其他格子點即可(如附圖)。這原本簡單觀察即可，不過在此借助Pick公式(註二)，顯然邊上的格子點只有四個，也就是；另外計算ΔOAB的面積為，於是 也就是ΔOAB內部沒有其他格子點。最後，因為直線BC的斜率大於直線OB的斜率，所以對於且x為無理數時，，完成了在區間上的最大值為。關於這個問題，可以進一步思考： 從有理數的稠密性知道，在射線OA和OB之間的格子點會有無限多個，令這些點所成的集合為T，那麼本題可以轉換為求{直線CP的斜率：P(T}的最大值。而當改變C點位置時，造成最大值的P點可能會改變，甚至這個最大值不存在。以本題為例，若C點在y軸負向，我們可以先找一個格點Q，那麼直線OA、OB和CQ所圍成的封閉三角形是在直線CQ的左上方，所以內部的格點是有限個，逐一清查就可以確定最大值是哪一個；但是若C點在y軸正向，那麼直線OA、OB和CQ所圍成的封閉三角形是在直線CQ的右下方，也就是在T中且在直線CQ的左上方的格點仍有無限多個，當我們選取另外一個格點時，連接直線，則又回到剛才的情況，是以這樣下去無窮無盡，找不到最大值。本題原本是一個代數問題，在經過斜率的轉換後，變成用幾何觀點來處理此問題，讓我再一次看到代數與幾何產生美妙的結合。 附圖： 註一：當時，。 註二：Pick公式為若三角形ABC的三個頂點都是格子點，I表示三角形內部格子點總數，S表示三邊上格子點總數，那麼三角形ABC的面積為。相關證明可以參考.tw/articles/sm/sm_25_10_1/page4.html#04_SECTION0004 裡面Pick定理的證明。 參考資料 題目來源：/exam/hs/98/ 用格子點串起的面積公式，許志農，.tw/~maco/macobook/faoffa/f2.pdf .tw/articles/sm/sm_25_10_1/page4.html#04_SECTION0004