为二重积分.PPT

多元函数积分学 多元函数积分可看作定积分推广为多元函 数在不同几何形体上的积分。 定积分（一元函数在区间 上的积分） 可推广为： 曲线积分 （多元函数在曲线上的积分） 曲面积分 （多元函数在曲面上的积分） n重积分 （n元函数在n维空间中的区域上的 积分） 几种几何形体上的积分： 为了便于今后讨论，当G为不同的几何形 体时，对应的积分都给出了固定的名称和符 号 当G为平面有界闭区域（常记为D）时，称 为二重积分，记为 当G为空间有界闭区域（常记为 ）时，称 为三重积分，记为 当G为平面有限曲线段（常记为L）或空间有限曲线段（常记为 ）时，称为第一型曲线积分（也称为对弧长的曲线积分），记为 当G为空间有限曲面片（常记为∑）时，称为第一型曲面积分（也称为对面积的曲面积分），记为 与定积分类似，当 在G上连续时， 积分 必定存在。 具有与定积分类似的性质： 以二重积分为例，线性性，可加性，比较性， 估值性，积分中值定理 几何形体上积分的物理意义 若一个非均匀物体，其形状如上述几何 形体G，其密度为G上的函数 ，则在G的 元素dg上，其质量应是 dg，于是该物体 的总质量为 例如平面上非均匀薄片的质量为 二重积分 一.几何意义:以曲面 为曲顶的曲顶柱体 的体积. 二.计算(求体积)-----化为累次积分 (一).直角坐标系下的计算: 设D（X型）： 则 设D（Y型）： 则 若D不是X型（或Y型），则将D分为几个 区域，使它们为X型（或Y型），几个区域上 的积分之和就是所给二重积分的值。 问题: 选择积分次序 交换积分次序 例1 求 解 X型 若Y型 则积分较繁。 例2 所围成。 分析 若先 后 积分， 无法积分。 解 先 后 积分，（Y型） 例3 交换二次积分的顺序 分析 要将按X型域确定积分限改为按Y型域确定 积分限。为此，应根据定限的方法先将题中所给 的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新 确立积分限，得到二次积分. 解 将所给积分限还原成D的图形，由 其中 知D是由y=x，y=2－x，y=0三条直线所围成， 于是按y型域定限 得 例4 设 在 上连续，证明 证 由等式左边，得 改变积分顺序，得 所以， 左边 右边 (二)极坐标计算二重积分 极坐标是由极点和极轴组成，坐标 ，其 中r为点p到极点o的距离， 为or到op的夹角。 r =常数；（从o出发的同心圆） =常数；（射线） 直角坐标与极坐标的关系为： 例5 将 化为极坐标下的二次积分。 解 利用 把积分区域的边界曲线化为极 坐标形式： 例6 计算 ，其中D是以原点为圆 心，半径为 的圆域。 解 D可以表示成 问题 本题为何不用直角坐标计算？ 如何计算广义积分 简单无穷限的二重积分怎样计算? 三.关于多元积分的对称性(二重积分为例) 设 在 上连续, 存在, (1)如果 关于 轴对称,而 关于变量 是奇 (偶)函数,则 其中 (2)如果 关于 轴对称,而 关于 变量是奇 (偶)函数,则 其中 (3)如果 关于原点对称,而 关于 是奇 (偶)函数,则 (4)若 关于 对称,则 ① (轮换对称性) ② 以上前三种情况类似于奇偶函数在对称区 间上的定积分性质, 第(4)种情况则是多元积分 的特殊性质. (2) 利用对称