国立板桥高中数学培训班教材柯光远老师编.DOC

國立板橋高中數學培訓班教材 柯光遠老師編 一、學科能力競賽數學科競賽方式及內容： 方式 時間 題型 題數 配分 內容 筆試（一） 2小時 計算證明 3 ~ 4題 49分 仿國際數學奧林匹亞方式命題 筆試（二） 1小時 填充 6 ~ 7題 21分 基本能力與概念 口試 20分鐘 30分 筆試最優前6至10名參加 二、競賽試題選講： (一)數論 1.平面上的格子點到直線的最短距離為 (二) 。（格子點是指兩個坐標都是整數的點）【92(二) 2】 2.平面上所有格子點到直線的距離之最小值為 (二） 。 （平面上坐標與坐標都是整數的點稱為格子點。） 3.設,為正整數且，滿足及。求  (三) 。【92(二) 3】 4.設為自然數，試證：在任意個正整數中，必存在個數的和是的倍數。 （17分）【93(一) 3】 5.設為一正整數，且滿足是某整數的四次方，求的所有可能值為何。 （10分）【94(一) 1】 6.試求滿足下列條件的所有正整數： （1）恰有6個正因數：1,,,,,； （2）。（16分）【92(一) 1】 知識補給：數學競賽常用的數論 練習題： 1. 求一個四位數，它的前兩位元數位及後兩位元數位分別相同，而該數本身等於一個整數的平方． 2.哪些连续正整数之和为1000？试求出所有的解． 3.在数3000003中，应把它的百位数字和万位数字0换成什么数字，才能使所得 数能被13整除？ 4.（a）求出所有正整数n使－1能被7整除． （b）证明：没有正整数n能使＋1被7整除． 5. 證明：如果三個連續自然數的中間一個是自然數的立方，那麼它們的 乘積能被504整除． (二)代數 1.方程式的解為 （一） 。【92(二) 1】 2.定義兩正數如下： ， ， 則 (二） 。（化成最簡分數）【92(二) 2】 3.設為實數，使得, , 形成等比數列，則此等比數列的公比為 （一） 。0, 1,, 2, 3,, 4, 5, 6,, 7, 8, 9, 10,, 11, 12, 13, 14, 15,, …… 則第2004項為 （七） 。【93(二) 7】 5.給定數列如下：，，…。 試問是幾位數？ (五） 。 6.若拋物線與橢圓有四個相異交點，則常數k的範圍為 （六） 。【92(二) 6】 7.設是實數，方程式的根都是實根，則的範圍為 (六) 。【93(二) 6】 8.若是正數，且，，則的最小值為 (五) 。 【92(二) 5】 9.設,為實數，若函數有最大值3及最小值，則之值為 （三） 。【93(二) 3】 10.若u, v, w, x, y, z能使下圖各行、各列及兩個對角線的和都相等。則 （五） 。 2 3 x 5 y u z v w 【92(二) 5】 11.設為某三角形之三邊長，試證：。（16分）【93(一) 1】 12.給定實數。平面上點, , 滿足及 。試求之值。（表示原點到點的 距離）(13分)【94(一) 4】 知識補給：遞迴數列 練習題： 1. 如果方程x2+ax+b=0與x2+px+q=0有一個公根，求以它們的相異根為根的二次 方程． 2. ?x取什麼值時，不等式 成立？ 3. 設x、y、z＞0且x+y+z=1．求1/x+4/y+9/z的最小值． 4. 有一群兒童，他們的年齡之和50歲，其中最大的13歲，有一個是10 歲；除去這個10歲兒童之外，其餘兒童的年齡都是整數且恰好組成一 個等差數列．問有幾個兒童？每個兒童是幾歲？ 5. 在公比大於1的等比數列中，最多有幾項是在100和1000之間的整數． (三)幾何 1.設圓O是△ABC的內切圓，切點P, Q, R分別在上。若 ，則圓O的半徑為 （四） 。（以x, y, z表示）【92(二) 4】 2.設中，的平分線交於點，使得，則 (一) 。【92(二) 1】 3.坐標平面上有三個圓、與。圓的圓心為 而半徑為，圓與圓外切且與軸相切於點 ，圓與圓、圓都外切且又與軸相切，則圓與軸切點的坐標為 (四) 。【92(二) 4】 4.在△ABC中，點在上且，又點是的中點。若，試證：△ABC是直角三角形。（16分）【93(一) 2】 5.在凸五邊形中，若，而且的中點滿足。試求 （1）的度數；（9分） （2），其中是至直線的垂足。（8分）【92(一) 3】 6.設一直線與一雙曲線相交於兩點，並與該雙曲線之漸近線相交於兩 點。試證：。（1分）。設為對於平面的對稱點；