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天水师范学院高等代数 第二学期 样题 A 题 目 一 二 三 四 五 总 分 得 分 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其号码填入题后的括号内，每小题3分，共24分） 1、下列子集（ ）作成向量空间Rn的子空间。 A． B． C． D． 2、下列向量组（ ）是线性无关的。 A． B． C． D．，其中任一向量都不能表成其余向量的线性组合。 3、以下命题（ ）不是两个子空间W1与W2的和为直和的等价命题。 A．dim(W1+W2)dimW1且dim(W1+W2)dimW2 B．W1W2=0 C．dim(W1+W2)=dimW1+dimW2 D．若是W1的一个基，是W2的一个基，则,…,为W1+W2的基。 4、令是R3的任意向量，则映射（ ）是R3的线性变换。 A． B． C． D． 5、设A，B为同一线性变换关于不同基的矩阵，P、Q为可逆矩阵，则下列（ ）式成立。 A．PAQ=B B．P-1AP=B C．AP=B D．PAP=B 6、n维欧氏空间中，从一个规范正交基到另一个规范正交基的过渡矩阵为（ ）。 A．对称矩阵 B．正交矩阵 C．酉矩阵 D．埃尔米特矩阵 7、欧氏空间V的线性变换是对称变换的充要条件是，都有（ ）成立。 A． B． C． D．把V的规范正交基还变成V的规范正交基 8、n元实二次型g(x1,x2,…,xn)正定的充要条件是它与下列二次型（ ）等价。 A． B． C． D． 二、填空题（每小题2分，共16分） 1、向量空间V中，a=0的充要条件是 。 2、数域F上任意一个n维向量空间都与 同构。 3、L（V）对于线性变换的加法和数乘作成F上的 。 4、令是V的任一线性变换，则一定有以下不变子空间 。 5、对欧氏空间V中的任意向量有，而且等号成立当且仅当 。 6、欧氏空间V的一组非零向量构成V的一个规范正交组，如果 7、实数域R上的一切n元二次型按二次型的等价关系可以分成 类。 8、如果A是正交矩阵，K为实数，要使KA为正交矩阵，则K等于 。 三、计算题（本题共32分） 1、设F上三维向量空间的线性变换关于基的矩阵。 ① 求关于基 的矩阵。 ② 设，求关于基的坐标。（10分） 2、对实对称矩阵 求一个正交矩阵U，使AU为对角形矩阵。（12分） 3、对实二次型 用合同变换法将它化为典范形式，并求所用的非退化线性变换。（10分） 四、证明题（28分） 1、设向量可以由线性表示，但不能由线性表示，证明向量组与向量组等价。（10分） 2、设是向量空间V的线性变换，且，证明和都在之下不变。（8分） 3、设A，B为n阶实对称矩阵，若有正交矩阵T，使得T-1AT，T-1BT同为对角形，证明：AB=BA （10分） 答案 一、单项选择题（每小题3分，共24分） 1、B； 2、D； 3、A； 4、B； 5、B； 6、B； 7、C； 8、B。 二、填空题（每小题2分，共16分） 1、a=0或=0； 2、Fn； 3、向量空间； 4、 5、线性相关 6、 7、 8、1或-1 三、计算题（本题共32分） 1、① 关于基的矩阵为 ② 关于基的坐标为：（-5，8，0）（本题10分） 2、由 得fA(x)的特征根为-1，-1，5。 属于x=-1的线性无关的特征向量为 正交化单位化为, 属于x= -5的特征向量为（1，1，1），单位化为 取，则 （本题12分） 3、f(x1,x2,x3)的矩阵为 由 取，则 （本题10分） 四、证明题（本题28分） 1、中，否则与不能由表示矛盾。于是。 从而与等价。 2、 。 3、 即 即 故AB=BA。 4 班级： 姓名： 学号：