引入升降算符求解波函数和能量本征值.PPT

习题3.6 电荷为q的谐振子，t0和t 时出于自由振动状态，总能量算符为 能量本征态记为 ,能级 当 ，外加均匀电场 ，总能量算符变成 H的本征态极为 ，本征值为 。 设 时该振子出于基态 。求 时的波函数 以及 中各能量本征态 的成分。 注意， 式（26）反映了算符 的主要性质，因此常将 分别称为量子数升、降算符。在二次量子化理论中，则将 分别称为产生、消灭算符。 三维各向同性谐振子 对于三维各向同性谐振子的解, 较常见的两种求解方法有: 一、是利用直角坐标系进行分离变量, 将三维薛定谔方程化作三个一维微分方程进行处理. 二、是在球面坐标系下, 运用薛定谔方程直接求解得出其本征函数. 直角坐标下的解 三维各向同性谐振子在直角坐标下的定态薛定谔方程为 因此方程 的本征函数为 方程的本征值为 对于一组给定 值, 三维各向同性谐振子能级的简并度为： 球坐标下的解 三维各向同性谐振子在球坐标下的定态薛定谔方程 球坐标下三维各向同性谐振子的本征函数为 其中 本征值为 能级简并度 代表缔合勒让德函数， 代表合流超几何函数. 由于选择了不同的守恒量完全集, 在直角坐标下其本征函数为三个厄尔米特函数的乘积, 而在球坐标下其本征函数为球谐函数与合流超几何函数的乘积. 那么, 在两个不同坐标下解出的三维各向同性谐振子的本征值、本征函数之间有什么联系? 两不同坐标下本征函数之间关系的讨论 由于选择了不同的守恒量完全集, 在球坐标下求解得出的本征函数 是守恒量完全集 的共同本征态, 而在直角坐标中求解得出的本征函数 则是守恒量完全集 的共同本征态, 根据态和力学量的表象变换理论, 我们知道这两个本征函数由一个幺正变换联系起来. ( 1) 对于n = 0, 由于能级不简并, 可以看出这两个本征函数是相同的, 即 ( 2) 对于n =1, 能级简并度为3, 波函数 三个态分别为 波函数 三个态分别为 利用数学关系 代入( 11)、( 12)、( 13) 式得 式( 17)、( 18)、( 19) 与式( 14)、( 15) 、( 16) 对比可知 所以归一化的幺正变换为 ( 3) 对于n = 2, 能级简并度为6, 有6 个态分别为 也有6 个态分别为 所以我们可以将 表示为 的函数得 最终求得分块矩阵A 11、A12 、A21、A 22为三阶矩阵，那么幺正变换为六阶矩阵。 在n = 1 时, 三维各向同性谐振子的能级简并度为3, 求出的幺正变换是3 阶矩阵; 在n = 2 时, 三维各向同性谐振子的能级简并度为6, 求出的幺正变换是6 阶矩阵; 在n = 3 时, 能级的简并度为10, 求出的幺正变换是10 阶矩阵; 在n = N 时, 由于能级的简并度为 1/2(N + 1) (N + 2) , 可得幺正变换应为1/2(N + 1) (N + 2) 阶矩阵. 这就印证了量子力学中两不同守恒量完全集之间的变换是一个幺正变换的结论. ?? 结论 解： 时，没有外电场，波函数满足Schrodinger方程