第9-10章快速数字仿真算法.ppt

第9章 快速数字仿真算法 对于一般的数值积分法和按环节离散化方法进行控制系统数字仿真的方法有一个共同的特点是：为使仿真达到一定的精度，计算的步长不能太大，因此使得计算量加大，计算时间加长，仿真运行过程增加，这就提出了精度与快速性之间的矛盾。尤其对于高阶或复杂系统进行数字仿真时，仿真时间太长将会使仿真失去实际意义。而对有些控制系统的数字仿真，由于参数限制，计算步长取得很小，这就加长了仿真时间，如按小的时间常数来确定计算步长，将会引起计算的不稳定，对于仿真都是不利于进行的。 一般在实时仿真情况下，在解决计算精度与计算速度这一对矛盾时，以计算速度为主要矛盾，在控制系统数字仿真的过程中一般要求在满足计算稳定性及工程要求精度的条件下，尽可能的提高仿真的计算速度。如采用高速计算机，采用执行速度快的编程语言以及采用快速仿真算法等措施。 9．1 替 换 法 9．1．1 替换法原理 替换法是建立在相匹配原理基础上的快速数字仿真算法。相匹配的含义就是指仿真模型与原系统数学模型的动态和静态特性是一致的。即，若G(s)是稳定的，那么与其相匹配的G(z)也应是稳定的，对于同一个输入函数，由G(s)及G(z)所求出的输出函数应具有相同的特征，如终值等。 从G(s)直接推导出G(z)的方法一般有两种：一种是替换法，即设法找出s与z的一个对应公式，然后将G(s)中的s转换成z，由此得到G(z)；另一种方法是根匹配法，即设法找到一个G(z)使其与G(s)有相同的零极点，我们将在下一节作介绍。 替换法的基本思想就是设法找出一个由s平面到z平面的简单映射关系：z=f(s)。通过控制理论的学习，己知s与z的关系为：z＝esT，但是这是一个超越函数，不能直接用来替换。 根据欧拉积分公式可得： 。 这个公式虽然简单，但是并不实用，因为如将此公式直接代入G(s)获得的G(z)在T较大的情况下会不稳定，不适合于快速数字仿真。比较简单而且实用的替换公式是双线性变换公式，也称为图士汀公式。推导过程如下： 已知梯形积分公式为： 可得： (9-1) 式(9-1)就是图士汀公式，也可写成 可知： (9-2) 式(9-2)中，若σ＜0，则|z|＜1，若σ＝0，则|z|＝1；而若σ＞0，则|z|＞1。即用公式(9-1)，Z平面上的单位圆，映射到S平面上将是整个左半平面。说明无论采样周期T取多大，双线性变换后的脉冲传递函数G(z)的根都必在z平面的单位圆内，这就保证了稳定的连续系统不会因为离散化而变得不稳定。即如果原来的G(s)是稳定的，则G(z)也是稳定的。 用这一关系可将由G(s)描述的连续系统转换为用G(z)描述的采样系统，再按差分方程递推求解输出响应，具有一定的仿真精度。举例如下： 令T=1时，用ejωT＝cosωT+jsinωT代入可分别求出它们的相频特性和幅频特性，列于表9．1中。 9．1．2替换法步骤 1．设线性系统的传递函数为 (9-4) 要求出双线性变化下得到的z传递函数 2．将A(z)，B(z)写成向量的形式 后一个矩阵是单列n+1行的矩阵，其中z幂指数由n到0排列，前一个矩阵[xij]是一个(n+1)行×(n+1)列的矩阵，称为系数矩阵。其中第一行元素为(a+b)n的展开式的各项系数，第一列元素都为1，这样如果n确定以后，第一行各元素均可确定，其余n×n个元素可由式(9-5)确定 9．1．3 算法有关公式的证明 1．公式(9-5)的证明 2．二项式系数的算法 9．1．4 xij计算程序及双线性替换法的程序图 9．2 根匹配法 9．2．1 根匹配法原理 根匹配法是根据匹配原理提出的又一种快速数字仿真方法。由于连续系统的动静态特性完全由其传递函数的增益大小和零、极点位置所决