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第9章 传递函数矩阵的结构特性 第9章 传递函数矩阵的结构特性 传递函数矩阵的结构特性是复频域分析和综合的基础 极点和零点的分布属性 决定系统的稳定性和运动行为 极点和零点的不平衡属性 反映系统的奇异特性和奇异程度 重点掌握的内容 Smith-McMillan型 极点和零点 结构指数 9.1 史密斯-麦克米伦形 定义 当且仅当秩为r的q×p有理分式矩阵M(s)具有如下形式： 其中， ⑴ {εi(s), φi(s)}为互质， i=1, 2, … , r ； ⑵ 满足整除性φi+1(s)| φi(s)和εi(s)|εi+1(s)，i=1, 2, … , r-1 Smith-McMillan型构造原理 对于q×p有理分式矩阵G(s)，设 r = Rank G(s) ≤ min{q, p}则必存在q×q和p×p单模阵U(s)、V(s)，使得变换后传递函数矩阵U(s)G(s)V(s)为Smith-McMillan型 例：导出下列2×2严格真有理分式矩阵G(s)的Smith-McMillan型 解：首先定出G(s)各元有理分式最小公分母d(s)和相应分子多项式矩阵N(s)，有 进而，取单模阵对U(s)、V(s)， 本例得到的Smith-McMillan型M(s)不再保持为严格真 化N(s)为Smith型 (1) Smith-McMillan型M(s)的惟一性 有理分式矩阵G(s)的Smith-McMillan型M(s)为惟一。 (4) 非奇异G(s)的属性 对q×q非奇异有理分式矩阵G(s)，下列等式成立： 其中，α为非零常数。 (3) Smith-McMillan型M(s)的非保真性 严真性有理分式矩阵G(s)的Smith-McMillan型M(s)不保持严真性，M(s)甚至可能为非真性。 注：导致M(s)非保真性的原因是，单模变换阵对{U(s)，V(s)}的引入，可能会在M(s)中附加引入乘子sk，k = 1, 2, … 。如前例7-5。 (2) 将G(s)化成M(s)的单模阵对{U(s)，V(s)}不惟一性 化有理分式矩阵G(s)为Smith-McMillan型M(s)的单模阵对{U(s)，V(s)}不惟一。 Smith-McMillan型的基本特性 (5) M(s)的MFD表示： 对秩为r的q×p传递函数矩阵G(s)，其Smith-McMillan型M(s)为 则可将M(s)表示为右MFD， M(s) = Er(s)Ψr-1(s) 如若引入 (5) M(s)的MFD表示： 对秩为r的q×p传递函数矩阵G(s)，其Smith-McMillan型M(s)为 则可将M(s)表示为左MFD， M(s) = Ψl-1(s)El(s) (6) G(s)基于Smith-McMillan型M(s)的不可简约MFD： 对q×p传递函数矩阵G(s)，其Smith-McMillan型为M(s)，单模变换阵对为{U(s)，V(s)}，M(s)的右MFD和左MFD为 M(s) = Er(s)Ψr-1(s) 和 M(s) = Ψl-1(s)El(s) 若取 Nr(s) = U-1(s)Er(s) ， Dr(s) = V(s)Ψr(s) 则Nr(s)Dr-1(s)为G(s)的不可简约右MFD。若取 Nl(s) = El(s)V-1(s) ， Dl(s) = Ψl(s)U(s) 则Dl-1(s)Nl(s)为G(s)的不可简约左MFD。 9.2 传递函数矩阵的有限极点和有限零点 MIMO线性时不变系统的极点、零点 有限极点零点 无穷远处极点零点 考虑q×p传递函数矩阵G(s)， r = Rank G(s) ≤ min{q, p}，导出其Smith-McMillan型为M(s)为 传递函数矩阵的有限极点和有限零点 对秩为r的q×p传递函数矩阵G