算子范数.PPT

* 三、四章内容提要 典型例题分析 部分习题解答 补充练习题 《数值分析》典型例题 II ? ? ? ? 2/16 一、解线性方程组直接法 = = 顺序消元法、列主元法、追赶法 矩阵的直接分解、对称矩阵的LU分解 二、向量和矩阵的范数 向量范数、算子范数、三种矩阵范数、矩阵的条件数 三、解线性方程组迭代法 Jacobi迭代、Seidel迭代、SOR迭代、迭代收敛性、初等变分原理、最速下降法、共轭梯度法* 定理3.1 约化主元ak+1,k+1(k) ≠ 0 (k=0,1,···,n-1)的充分必要条件是 矩阵A的各阶顺序主子式不为零. 3/16 消元法使用的条件 定理4.2 :设x*为方程组 Ax=b 的解 若||B||1,则对迭代格式 x(k+1) = B x(k) + f 有 定理4.3 若 Ax = b 的系数矩阵 A 是严格对角占优矩阵,则Jacobi迭代和Seidel迭代均收敛 Ex1.如果A是严格主对角占优矩阵, 则 det(A) ≠0. 证: 用反证法。设det(A) = 0, 则齐次方程组Ax=0有非零解 u =[u1, u2, ···, un ]T. 设 考虑Au =0的第k个等式 ? 两边约去 |uk|，得 这与主对角占优矛盾, 故det(A) ≠0。 4/16 Ex2.设A对称且a11≠ 0,高斯消元法一步后,A约化为 证明 A2 也是对称矩阵。 证明:设 所以, A2 = A2T 5/16 Ex3.对任何一种矩阵的算子范数,证明矩阵A的谱半径与A的范数有关系:ρ(A) ≤ || A || 证:设 ? 是矩阵A任一特征值,x 是对应的特征向量,则 ? ? ? Ex4.若矩阵A是n阶对称矩阵, 则有 证：设? 是A的任一特征值,由于A对称,故?2 是矩阵ATA的特征值,即 6/16 7/16 由2-范数计算公式 Ex5.对任意x，y∈Rn，利用向量范数的三角形不等式证明： 证: || x || = || (x – y )+ y || ≤|| x – y || + || y || ? || x || – || y || ≤|| x – y || 同理, || y || – || x || ≤|| y – x || =|| x – y || ? || x || – || y ||≥ – || x – y || ? – || x – y || ≤ || x || – || y || ≤|| x – y || ? Jacobi 迭代法的迭代矩阵 8/16 Gauss-Seidel迭代法的矩阵: BG-S= (D – L)-1U Ax = b, 将矩阵分裂: A = D – U – L BJ = D-1(U+L) 特征多项式与特征方程: | ?I – D-1(U+L)| = |D-1|·|?D – (U+L) | ? | ?D – (U+L) | = 0 特征多项式与特征方程: |?I – (D – L)-1U| = |(D – L )-1|·|?(D– L ) – U | ? |?(D– L ) – U | = 0 9/16 Ex6. 若A是严格主对角占优矩阵，求证解方程组AX=b的高斯-赛德尔迭代法收敛。 证：高斯-赛德尔迭代矩阵为(D – L )-1U,该矩阵的特征方程为 |?(D– L ) – U | = 0 行列式对应的矩阵为 当|? | 1时，利用A矩阵的主对角占优性质，得 故C(?)也是严格主对角占优矩阵。由于严格主对角占优矩阵的行列式不为零，故?不是特征方程 C(?) = |?(D– L ) – U | = 0 的根。所以当A是严格主对角占优矩阵时,(D – L )-1U的特征值必然满足：|? | 1，从而高斯-赛德尔迭代矩阵谱半径小于1，迭代法收敛。 10/16 11/16 Ex7.设A是一个可逆矩阵，矩阵序列满足 Xk+1=Xk(2I – A Xk )，（k =0，1，2，……） 证明:当 时 证明：由Xk+1=Xk(2I – A Xk )，得 I – AXk+1 = I – A Xk(2I – A Xk )= (I – A Xk )2 于是 I – AXk =(I – A Xk -1)2 =(I – A Xk -2)2×2 = ·········· 12/16 ? Ex8 设 A∈R n×n